Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 525

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 525

lim⁡x→∞(sin⁡1x+cos⁡1x)x.\lim_{x\to\infty}\left(\sin\frac1x+\cos\frac1x\right)^x.

Опирается на задачу 474

Решение

Идея

При x→∞x\to\infty 1x→0\frac1x\to0, поэтомуsin⁡1x+cos⁡1x→1.\sin\frac1x+\cos\frac1x\to1.Получаем неопределенность вида 1∞1^\infty.
Представим основание в видеsin⁡1x+cos⁡1x=1+(sin⁡1x+cos⁡1x−1).\sin\frac1x+\cos\frac1x
=
1+
\left(
\sin\frac1x+\cos\frac1x-1
\right).Тогда(sin⁡1x+cos⁡1x)x=[(1+sin⁡1x+cos⁡1x−1)1sin⁡1x+cos⁡1x−1]x(sin⁡1x+cos⁡1x−1).\left(
\sin\frac1x+\cos\frac1x
\right)^x
=
\left[
\left(
1+\sin\frac1x+\cos\frac1x-1
\right)^{
\frac1{
\sin\frac1x+\cos\frac1x-1
}
}
\right]^{
x\left(
\sin\frac1x+\cos\frac1x-1
\right)
}.Положимt=sin⁡1x+cos⁡1x−1.t=\sin\frac1x+\cos\frac1x-1.При x→∞x\to\infty имеем t→0t\to0, поэтому первая скобка имеет вид(1+t)1/t→e.(1+t)^{1/t}\to e.

Проверка

Рассмотрим показатель:x(sin⁡1x+cos⁡1x−1)=sin⁡1x1x+cos⁡1x−11x.x\left(
\sin\frac1x+\cos\frac1x-1
\right)
=
\frac{\sin\frac1x}{\frac1x}
+
\frac{\cos\frac1x-1}{\frac1x}.Первое слагаемое по первому замечательному пределу стремится к 11:sin⁡1x1x→1.\frac{\sin\frac1x}{\frac1x}\to1.Второе преобразуем:cos⁡1x−11x=−1x⋅1−cos⁡1x(1x)2.\frac{\cos\frac1x-1}{\frac1x}
=
-\frac1x
\cdot
\frac{
1-\cos\frac1x
}{
\left(\frac1x\right)^2
}.Из задачи 474а1−cos⁡1x(1x)2→12,\frac{
1-\cos\frac1x
}{
\left(\frac1x\right)^2
}
\to\frac12,а 1x→0\frac1x\to0. Поэтомуcos⁡1x−11x→0.\frac{\cos\frac1x-1}{\frac1x}\to0.Итак,x(sin⁡1x+cos⁡1x−1)→1.x\left(
\sin\frac1x+\cos\frac1x-1
\right)\to1.Следовательно,lim⁡x→∞(sin⁡1x+cos⁡1x)x=e.\boxed{
\lim_{x\to\infty}
\left(
\sin\frac1x+\cos\frac1x
\right)^x
=
e
}.
Демидович № 525 — решение | Высшая математика — Профиматика