Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 527

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 527

Вычислить пределlim⁡n→∞(n+xn−1)n\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+x}{n-1}\right)^n
Ответ:ex+1e^{x+1}

Решение

Параметр x∈Rx\in\mathbb R фиксирован.
Разделим числитель и знаменатель дроби на nn:
(n+xn−1)n=\displaystyle \left(\frac{n+x}{n-1}\right)^n\mathrel{=}(1+xn1−1n)n=\displaystyle \left(\frac{1+\frac{x}{n}}{1-\frac1n}\right)^n\mathrel{=}(1+xn)n(1−1n)−n\displaystyle \left(1+\frac{x}{n}\right)^n
\left(1-\frac1n\right)^{-n}По второму замечательному пределу(1+xn)n→ex,(1−1n)−n→e\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\to e^x,
\qquad
\left(1-\frac1n\right)^{-n}\to eПоэтомуlim⁡n→∞(n+xn−1)n=ex+1\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+x}{n-1}\right)^n=e^{x+1}