Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 515

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 515

lim⁡x→∞(x+ax−a)x.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x.

Решение

Идея

Преобразуем основание:x+ax−a=1+2ax−a.\frac{x+a}{x-a}
=
1+\frac{2a}{x-a}.Если a≠0a\neq0, получаем(x+ax−a)x=[(1+2ax−a)x−a2a]2axx−a.\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x
=
\left[
\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{2a}}
\right]^{\frac{2ax}{x-a}}.Положимt=2ax−a.t=\frac{2a}{x-a}.При x→∞x\to\infty имеем t→0t\to0, причем(1+2ax−a)x−a2a=(1+t)1/t→e.\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{2a}}
=
(1+t)^{1/t}\to e.Кроме того,2axx−a=2a1−ax→2a.\frac{2ax}{x-a}
=
\frac{2a}{1-\frac ax}
\to2a.Отсюдаlim⁡x→∞(x+ax−a)x=e2a.\boxed{
\lim_{x\to\infty}
\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x
=
e^{2a}
}.
При a=0a=0 исходное выражение тождественно равно 11, и результат также совпадает с формулой: e2a=e0=1e^{2a}=e^0=1.
Демидович № 515 — решение