Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 508

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 508

lim⁡x→∞(3x2−x+12x2+x+1)x31−x.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x^2-x+1}{2x^2+x+1}\right)^{\frac{x^3}{1-x}}.

Решение

Основание стремится к3x2−x+12x2+x+1=3−1x+1x22+1x+1x2→32>1.\frac{3x^2-x+1}{2x^2+x+1}
=
\frac{3-\frac1x+\frac1{x^2}}
{2+\frac1x+\frac1{x^2}}
\to\frac32>1.Показатель степениx31−x=−x3x−1→−∞.\frac{x^3}{1-x}
=
-\frac{x^3}{x-1}
\to-\infty.Перепишем выражение:(3x2−x+12x2+x+1)x31−x=(2x2+x+13x2−x+1)x3x−1.\left(\frac{3x^2-x+1}{2x^2+x+1}\right)^{\frac{x^3}{1-x}}
=
\left(\frac{2x^2+x+1}{3x^2-x+1}\right)^{\frac{x^3}{x-1}}.Теперь основание стремится к 23<1\frac23<1, а показатель x3x−1→+∞\frac{x^3}{x-1}\to+\infty. Поэтомуlim⁡x→∞(3x2−x+12x2+x+1)x31−x=0.\lim_{x\to\infty}
\left(\frac{3x^2-x+1}{2x^2+x+1}\right)^{\frac{x^3}{1-x}}
=
0
.

Проверка

Оценку можно записать явно. Пусть A(x)A(x) — обратное основание, использованное в решении. Так как A(x)→2/3A(x)\to2/3, при достаточно больших ∣x∣|x| имеем 0<A(x)<q0<A(x)<q, где q=(1+2/3)/2=5/6<1q=(1+2/3)/2=5/6<1. Кроме того,p(x)=x3x−1=x21−1/x⟶+∞.p(x)=\frac{x^3}{x-1}=\frac{x^2}{1-1/x}\longrightarrow+\infty.Поэтому 0<A(x)p(x)<qp(x)→00<A(x)^{p(x)}<q^{p(x)}\to0.