Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 504

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x\sqrt{\cos2x}\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}.

Решение

Идея

Используем тождество

1-abc=(1-a)+a(1-b)+ab(1-c).

Отсюда

1-\cos x\sqrt{\cos2x}\sqrt[3]{\cos3x}

=(1-\cos x)+\cos x\left(1-\sqrt{\cos2x}\right)+\cos x\sqrt{\cos2x}\left(1-\sqrt[3]{\cos3x}\right).

Делим на

x^2

=\frac{1-\cos x}{x^2}+\cos x\frac{1-\sqrt{\cos2x}}{x^2}+\cos x\sqrt{\cos2x}\frac{1-\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}.

1
Первое слагаемое: $\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12.$

Второе немного преобразуем: $1-\sqrt{\cos2x} = \frac{1-\cos2x}{1+\sqrt{\cos2x}}.$ Тогда $\frac{1-\sqrt{\cos2x}}{x^2}=\frac{1-\cos2x}{x^2}\cdot\frac1{1+\sqrt{\cos2x}}.$ Причем $\frac{1-\cos2x}{x^2}=4\frac{1-\cos2x}{(2x)^2}\to4\cdot\frac12=2,$ а $1+\sqrt{\cos2x}\to2.$ Отсюда $\frac{1-\sqrt{\cos2x}}{x^2}\to1.$
2
Теперь третье слагаемое. Используем формулу разности кубов: $1-\cos3x=\left(1-\sqrt[3]{\cos3x}\right)\left(1+\sqrt[3]{\cos3x}+\left(\sqrt[3]{\cos3x}\right)^2\right).$ Тогда $\frac{1-\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}=\frac{1-\cos3x}{x^2}\frac1{1+\sqrt[3]{\cos3x}+\left(\sqrt[3]{\cos3x}\right)^2}.$ При этом $\frac{1-\cos3x}{x^2}=9\frac{1-\cos3x}{(3x)^2}\to\frac92,$ а скобка в знаменателе стремится к $3$ . Значит, $\frac{1-\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}\to\frac{9/2}{3}=\frac32.$ Наконец, $\cos x\to1, \quad \sqrt{\cos2x}\to1.$

Проверка

\boxed{\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x\sqrt{\cos2x}\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}=\frac12+1+\frac32=3}.