Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 504

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 504

lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x3x2.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x\sqrt{\cos2x}\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}.

Решение

Используем тождество 1−abc=(1−a)+a(1−b)+ab(1−c).1-abc=(1-a)+a(1-b)+ab(1-c). Отсюда 1−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x31-\cos x\sqrt{\cos2x}\sqrt[3]{\cos3x} =(1−cos⁡x)+cos⁡x(1−cos⁡2x)+cos⁡xcos⁡2x(1−cos⁡3x3).=
(1-\cos x)
+
\cos x\left(1-\sqrt{\cos2x}\right)
+
\cos x\sqrt{\cos2x}
\left(1-\sqrt[3]{\cos3x}\right). Делим на x2x^2: =1−cos⁡xx2+cos⁡x1−cos⁡2xx2+cos⁡xcos⁡2x1−cos⁡3x3x2.=
\frac{1-\cos x}{x^2}
+
\cos x\frac{1-\sqrt{\cos2x}}{x^2}
+
\cos x\sqrt{\cos2x}
\frac{1-\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}.
Первое слагаемое: 1−cos⁡xx2→12.\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12.

Второе немного преобразуем: 1−cos⁡2x=1−cos⁡2x1+cos⁡2x.1-\sqrt{\cos2x} = \frac{1-\cos2x}{1+\sqrt{\cos2x}}. Тогда 1−cos⁡2xx2=1−cos⁡2xx2⋅11+cos⁡2x.\frac{1-\sqrt{\cos2x}}{x^2}
=
\frac{1-\cos2x}{x^2}
\cdot
\frac1{1+\sqrt{\cos2x}}. Причем 1−cos⁡2xx2=41−cos⁡2x(2x)2→4⋅12=2,\frac{1-\cos2x}{x^2}
=
4\frac{1-\cos2x}{(2x)^2}
\to4\cdot\frac12=2, а 1+cos⁡2x→2.1+\sqrt{\cos2x}\to2. Отсюда 1−cos⁡2xx2→1.\frac{1-\sqrt{\cos2x}}{x^2}\to1.
Теперь третье слагаемое. Используем формулу разности кубов: 1−cos⁡3x=(1−cos⁡3x3)(1+cos⁡3x3+(cos⁡3x3)2).1-\cos3x
=
\left(1-\sqrt[3]{\cos3x}\right)
\left(
1+\sqrt[3]{\cos3x}
+\left(\sqrt[3]{\cos3x}\right)^2
\right). Тогда 1−cos⁡3x3x2=1−cos⁡3xx211+cos⁡3x3+(cos⁡3x3)2.\frac{1-\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}
=
\frac{1-\cos3x}{x^2}
\frac1{
1+\sqrt[3]{\cos3x}
+\left(\sqrt[3]{\cos3x}\right)^2
}. При этом 1−cos⁡3xx2=91−cos⁡3x(3x)2→92,\frac{1-\cos3x}{x^2}
=
9\frac{1-\cos3x}{(3x)^2}
\to\frac92, а скобка в знаменателе стремится к 33. Значит, 1−cos⁡3x3x2→9/23=32.\frac{1-\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}
\to
\frac{9/2}{3}
=
\frac32.Наконец, cos⁡x→1,cos⁡2x→1.\cos x\to1, \quad \sqrt{\cos2x}\to1.

Проверка

lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x3x2=12+1+32=3.\lim_{x\to0}
\frac{1-\cos x\sqrt{\cos2x}\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}
=
\frac12+1+\frac32
=
3
.