Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 503

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 503

lim⁡x→01−cos⁡x1−cos⁡(x).\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos(\sqrt{x})}.

Опирается на задачу 474

Решение

Идея

Из-за наличия x\sqrt{x} фактически рассматривается предел при x→+0x\to+0.
Рационализируем числитель: 1−cos⁡x=1−cos⁡x1+cos⁡x.1-\sqrt{\cos x} = \frac{1-\cos x}{1+\sqrt{\cos x}}. Тогда 1−cos⁡x1−cos⁡(x)=1−cos⁡x1−cos⁡(x)⋅11+cos⁡x.\frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos(\sqrt{x})}
=
\frac{1-\cos x}{1-\cos(\sqrt{x})}
\cdot
\frac1{1+\sqrt{\cos x}}.Первую дробь преобразуем с помощью предела из задачи 474а: 1−cos⁡x1−cos⁡(x)=x 1−cos⁡xx21−cos⁡(x)x.\frac{1-\cos x}{1-\cos(\sqrt{x})}
=
x\,
\frac{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}
{\dfrac{1-\cos(\sqrt{x})}{x}}. Здесь 1−cos⁡xx2→12.\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12. Кроме того, если в пределе 1−cos⁡tt2→12\frac{1-\cos t}{t^2}\to\frac12 взять t=xt=\sqrt{x}, то 1−cos⁡(x)x=1−cos⁡(x)(x)2→12.\frac{1-\cos(\sqrt{x})}{x}
=
\frac{1-\cos(\sqrt{x})}{(\sqrt{x})^2}
\to\frac12. Отсюда 1−cos⁡x1−cos⁡(x)→x⋅1/21/2→0.\frac{1-\cos x}{1-\cos(\sqrt{x})} \to x\cdot\frac{1/2}{1/2}\to0. Также 11+cos⁡x→12.\frac1{1+\sqrt{\cos x}}\to\frac12.

Проверка

lim⁡x→01−cos⁡x1−cos⁡(x)=0.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos(\sqrt{x})}
=
0
}.
Демидович № 503 — решение