Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 488

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 488

lim⁡x→0sin⁡(a+2x)−2sin⁡(a+x)+sin⁡ax2.\lim_{x\to0}\frac{\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a}{x^2}.

Опирается на задачу 474

Решение

Идея

Рассмотрим числитель: sin⁡(a+2x)−2sin⁡(a+x)+sin⁡a.\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a. Сгруппируем первый и последний члены: sin⁡(a+2x)+sin⁡a−2sin⁡(a+x).\sin(a+2x)+\sin a-2\sin(a+x). Используем формулу суммы синусов: sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2.\sin\alpha+\sin\beta
=
2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}
\cos\frac{\alpha-\beta}{2}. Для α=a+2x\alpha=a+2x, β=a\beta=a получаем sin⁡(a+2x)+sin⁡a=2sin⁡(a+x)cos⁡x.\sin(a+2x)+\sin a = 2\sin(a+x)\cos x.
Числитель равен 2sin⁡(a+x)cos⁡x−2sin⁡(a+x)=2sin⁡(a+x)(cos⁡x−1).2\sin(a+x)\cos x-2\sin(a+x) = 2\sin(a+x)(\cos x-1).

Отсюда sin⁡(a+2x)−2sin⁡(a+x)+sin⁡ax2=2sin⁡(a+x)cos⁡x−1x2\frac{\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a}{x^2} = 2\sin(a+x)\frac{\cos x-1}{x^2} Вынесем знак минус: =−2sin⁡(a+x)1−cos⁡xx2.=
-2\sin(a+x)\frac{1-\cos x}{x^2}. При x→0x\to0: sin⁡(a+x)→sin⁡a,\sin(a+x)\to\sin a, а из задачи 474а 1−cos⁡xx2→12.\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12.

Проверка

lim⁡x→0sin⁡(a+2x)−2sin⁡(a+x)+sin⁡ax2=−2sin⁡a⋅12=−sin⁡a.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a}{x^2}
=
-2\sin a\cdot\frac12
=
-\sin a
}.
Демидович № 488 — решение