Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 491

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 491

lim⁡x→0ctg⁡(a+2x)−2ctg⁡(a+x)+ctg⁡ax2.\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ctg}(a+2x)-2\operatorname{ctg}(a+x)+\operatorname{ctg}a}{x^2}.

Решение

Идея

Считаем, что sin⁡a≠0\sin a\neq0, чтобы ctg⁡a\operatorname{ctg}a был определен.
Представим числитель в виде ctg⁡(a+2x)−2ctg⁡(a+x)+ctg⁡a\operatorname{ctg}(a+2x)-2\operatorname{ctg}(a+x)+\operatorname{ctg}a =[ctg⁡(a+2x)−ctg⁡(a+x)]−[ctg⁡(a+x)−ctg⁡a].=
\left[\operatorname{ctg}(a+2x)-\operatorname{ctg}(a+x)\right]
-
\left[\operatorname{ctg}(a+x)-\operatorname{ctg}a\right]. Используем формулу ctg⁡α−ctg⁡β=−sin⁡(α−β)sin⁡αsin⁡β.\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{ctg}\beta
=
-\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}. Тогда ctg⁡(a+2x)−ctg⁡(a+x)=−sin⁡xsin⁡(a+2x)sin⁡(a+x),\operatorname{ctg}(a+2x)-\operatorname{ctg}(a+x)
=
-\frac{\sin x}{\sin(a+2x)\sin(a+x)}, а ctg⁡(a+x)−ctg⁡a=−sin⁡xsin⁡(a+x)sin⁡a.\operatorname{ctg}(a+x)-\operatorname{ctg}a
=
-\frac{\sin x}{\sin(a+x)\sin a}. Отсюда ctg⁡(a+2x)−2ctg⁡(a+x)+ctg⁡a\operatorname{ctg}(a+2x)-2\operatorname{ctg}(a+x)+\operatorname{ctg}a =sin⁡xsin⁡(a+x)(1sin⁡a−1sin⁡(a+2x)).=
\frac{\sin x}{\sin(a+x)}
\left(
\frac1{\sin a}-\frac1{\sin(a+2x)}
\right). Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: 1sin⁡a−1sin⁡(a+2x)=sin⁡(a+2x)−sin⁡asin⁡asin⁡(a+2x).\frac1{\sin a}-\frac1{\sin(a+2x)}
=
\frac{\sin(a+2x)-\sin a}
{\sin a\sin(a+2x)}. Используем формулу разности синусов: sin⁡(a+2x)−sin⁡a=2cos⁡(a+x)sin⁡x.\sin(a+2x)-\sin a = 2\cos(a+x)\sin x. Тогда ctg⁡(a+2x)−2ctg⁡(a+x)+ctg⁡a=2sin⁡2xcos⁡(a+x)sin⁡(a+x)sin⁡asin⁡(a+2x).\operatorname{ctg}(a+2x)-2\operatorname{ctg}(a+x)+\operatorname{ctg}a
=
\frac{2\sin^2x\cos(a+x)}
{\sin(a+x)\sin a\sin(a+2x)}. Делим на x2x^2: ctg⁡(a+2x)−2ctg⁡(a+x)+ctg⁡ax2=2(sin⁡xx)2cos⁡(a+x)sin⁡(a+x)sin⁡asin⁡(a+2x).\frac{\operatorname{ctg}(a+2x)-2\operatorname{ctg}(a+x)+\operatorname{ctg}a}{x^2}
=
2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2
\frac{\cos(a+x)}
{\sin(a+x)\sin a\sin(a+2x)}. При x→0x\to0 sin⁡xx→1,cos⁡(a+x)→cos⁡a,\frac{\sin x}{x}\to1, \quad \cos(a+x)\to\cos a, sin⁡(a+x)→sin⁡a,sin⁡(a+2x)→sin⁡a.\sin(a+x)\to\sin a, \quad \sin(a+2x)\to\sin a.

Проверка

lim⁡x→0ctg⁡(a+2x)−2ctg⁡(a+x)+ctg⁡ax2=2cos⁡asin⁡3a.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\operatorname{ctg}(a+2x)-2\operatorname{ctg}(a+x)+\operatorname{ctg}a}{x^2}
=
\frac{2\cos a}{\sin^3a}
}.
Демидович № 491 — решение