Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 485

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 485

lim⁡x→actg⁡x−ctg⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}a}{x-a}.

Решение

Пусть sin⁡a≠0\sin a\neq0.
Преобразуем разность котангенсов: ctg⁡x−ctg⁡a=cos⁡xsin⁡x−cos⁡asin⁡a.\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}a
=
\frac{\cos x}{\sin x}
-
\frac{\cos a}{\sin a}. Приводим к общему знаменателю: ctg⁡x−ctg⁡a=cos⁡xsin⁡a−cos⁡asin⁡xsin⁡xsin⁡a.\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}a
=
\frac{\cos x\sin a-\cos a\sin x}
{\sin x\sin a}. Заметим, что cos⁡xsin⁡a−cos⁡asin⁡x=sin⁡(a−x)=−sin⁡(x−a).\cos x\sin a-\cos a\sin x = \sin(a-x) = -\sin(x-a). Тогда ctg⁡x−ctg⁡ax−a=−sin⁡(x−a)(x−a)sin⁡xsin⁡a.\frac{\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}a}{x-a}
=
-\frac{\sin(x-a)}
{(x-a)\sin x\sin a}. То есть ctg⁡x−ctg⁡ax−a=−sin⁡(x−a)x−a⋅1sin⁡xsin⁡a.\frac{\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}a}{x-a}
=
-\frac{\sin(x-a)}{x-a}
\cdot
\frac1{\sin x\sin a}. При x→ax\to a sin⁡(x−a)x−a→1,sin⁡x→sin⁡a.\frac{\sin(x-a)}{x-a}\to1, \quad \sin x\to\sin a.

Проверка

lim⁡x→actg⁡x−ctg⁡ax−a=−1sin⁡2a.\lim_{x\to a}
\frac{\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}a}{x-a}
=
-\frac1{\sin^2a}
.