Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 500

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 500

lim⁡x→0x21+xsin⁡x−cos⁡x.\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}}.

Опирается на задачу 474

Решение

Идея

При x→0x\to0 знаменатель стремится к нулю. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: x21+xsin⁡x−cos⁡x⋅1+xsin⁡x+cos⁡x1+xsin⁡x+cos⁡x.\frac{x^2}
{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}}
\cdot
\frac{\sqrt{1+x\sin x}+\sqrt{\cos x}}
{\sqrt{1+x\sin x}+\sqrt{\cos x}}. Отсюда x2(1+xsin⁡x+cos⁡x)1+xsin⁡x−cos⁡x.\frac{
x^2\left(\sqrt{1+x\sin x}+\sqrt{\cos x}\right)
}{
1+x\sin x-\cos x
}. В знаменателе 1+xsin⁡x−cos⁡x=xsin⁡x+(1−cos⁡x).1+x\sin x-\cos x = x\sin x+(1-\cos x). Делим числитель и знаменатель на x2x^2: 1+xsin⁡x+cos⁡xsin⁡xx+1−cos⁡xx2.\frac{
\sqrt{1+x\sin x}+\sqrt{\cos x}
}{
\dfrac{\sin x}{x}
+
\dfrac{1-\cos x}{x^2}
}. При x→0x\to0 sin⁡xx→1,\frac{\sin x}{x}\to1, а из задачи 474а 1−cos⁡xx2→12.\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12. Кроме того, 1+xsin⁡x→1,cos⁡x→1.\sqrt{1+x\sin x}\to1, \quad \sqrt{\cos x}\to1.
lim⁡x→0x21+xsin⁡x−cos⁡x=21+12=43.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{x^2}
{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}}
=
\frac{2}{1+\frac12}
=
\frac43
}.
Демидович № 500 — решение