Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 510

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 510

lim⁡x→π4+0[tg⁡(π8+x)]ctg⁡2x.\lim_{x\to \frac{\pi}{4}+0}\left[\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+x\right)\right]^{\operatorname{ctg} 2x}.

Решение

При x→π4+0x\to\dfrac\pi4+0 основание стремится кtg⁡(π8+π4)=tg⁡3π8,\operatorname{tg}\left(\frac\pi8+\frac\pi4\right)
=
\operatorname{tg}\frac{3\pi}{8},то есть к конечному положительному числу.
Рассмотрим показатель:ctg⁡2x=cos⁡2xsin⁡2x.\operatorname{ctg}2x
=
\frac{\cos2x}{\sin2x}.При x→π4+0x\to\frac\pi4+0 имеем 2x→π2+02x\to\frac\pi2+0, поэтому cos⁡2x→0\cos2x\to0, sin⁡2x→1\sin2x\to1, иctg⁡2x→0.\operatorname{ctg}2x\to0.Таким образом,[tg⁡(π8+x)]ctg⁡2x→(tg⁡3π8)0=1.\left[\operatorname{tg}\left(\frac\pi8+x\right)\right]^{\operatorname{ctg}2x}
\to
\left(\operatorname{tg}\frac{3\pi}{8}\right)^0=1.Следовательно,lim⁡x→π4+0[tg⁡(π8+x)]ctg⁡2x=1.\lim_{x\to\frac\pi4+0}
\left[\operatorname{tg}\left(\frac\pi8+x\right)\right]^{\operatorname{ctg}2x}
=
1
.