Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 496

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 496

lim⁡x→π3tg⁡3x−3tg⁡xcos⁡(x+π6).\lim_{x\to\frac\pi3}\frac{\operatorname{tg}^3x-3\operatorname{tg}x}{\cos\left(x+\frac\pi6\right)}.

Опирается на задачу 495

Решение

Идея

При x→π3x\to\dfrac\pi3 tg⁡x→3,\operatorname{tg}x\to\sqrt3, поэтому числитель стремится к нулю. Разложим его: tg⁡3x−3tg⁡x=tg⁡x(tg⁡2x−3).\operatorname{tg}^3x-3\operatorname{tg}x
=
\operatorname{tg}x(\operatorname{tg}^2x-3). Запишем тангенс через синус и косинус: tg⁡2x−3=sin⁡2x−3cos⁡2xcos⁡2x.\operatorname{tg}^2x-3 = \frac{\sin^2x-3\cos^2x}{\cos^2x}. Так как sin⁡2x=1−cos⁡2x,\sin^2x=1-\cos^2x, то sin⁡2x−3cos⁡2x=1−4cos⁡2x=(1−2cos⁡x)(1+2cos⁡x).\sin^2x-3\cos^2x = 1-4\cos^2x = (1-2\cos x)(1+2\cos x). Отсюда tg⁡3x−3tg⁡x=tg⁡x (1−2cos⁡x)(1+2cos⁡x)cos⁡2x.\operatorname{tg}^3x-3\operatorname{tg}x
=
\operatorname{tg}x\,
\frac{(1-2\cos x)(1+2\cos x)}{\cos^2x}.
lim⁡x→π3tg⁡3x−3tg⁡xcos⁡(x+π6)=−3⋅21/4⋅3=−24.\boxed{
\lim_{x\to\frac\pi3}
\frac{\operatorname{tg}^3x-3\operatorname{tg}x}
{\cos\left(x+\frac\pi6\right)}
=
-\sqrt3\cdot\frac{2}{1/4}\cdot\sqrt3
=
-24
}.

Проверка

Преобразуем знаменатель: cos⁡(x+π6)=sin⁡(π2−x−π6)=sin⁡(π3−x)=−sin⁡(x−π3).\cos\left(x+\frac\pi6\right)
=
\sin\left(\frac\pi2-x-\frac\pi6\right)
=
\sin\left(\frac\pi3-x\right)
=
-\sin\left(x-\frac\pi3\right). Тогда tg⁡3x−3tg⁡xcos⁡(x+π6)\frac{\operatorname{tg}^3x-3\operatorname{tg}x}
{\cos\left(x+\frac\pi6\right)} =−tg⁡x 1+2cos⁡xcos⁡2x⋅1−2cos⁡xsin⁡(x−π3).=
-\operatorname{tg}x\,
\frac{1+2\cos x}{\cos^2x}
\cdot
\frac{1-2\cos x}
{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}. Из задачи 495 sin⁡(x−π3)1−2cos⁡x→13,\frac{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}
{1-2\cos x}
\to\frac1{\sqrt3}, следовательно, 1−2cos⁡xsin⁡(x−π3)→3.\frac{1-2\cos x} {\sin\left(x-\frac\pi3\right)} \to\sqrt3. Кроме того, tg⁡x→3,1+2cos⁡x→2,cos⁡2x→14.\operatorname{tg}x\to\sqrt3,
\quad
1+2\cos x\to2,
\quad
\cos^2x\to\frac14.
Демидович № 496 — решение