Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 487

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 487

lim⁡x→acosec⁡x−cosec⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{cosec}x-\operatorname{cosec}a}{x-a}.

Опирается на

Решение

Пусть sin⁡a≠0\sin a\neq0.

По определению cosec⁡x=1sin⁡x.\operatorname{cosec}x=\frac1{\sin x}. Тогда cosec⁡x−cosec⁡a=1sin⁡x−1sin⁡a=sin⁡a−sin⁡xsin⁡xsin⁡a.\operatorname{cosec}x-\operatorname{cosec}a
=
\frac1{\sin x}-\frac1{\sin a}
=
\frac{\sin a-\sin x}{\sin x\sin a}. Отсюда cosec⁡x−cosec⁡ax−a=1sin⁡xsin⁡a⋅sin⁡a−sin⁡xx−a.\frac{\operatorname{cosec}x-\operatorname{cosec}a}{x-a}
=
\frac1{\sin x\sin a}
\cdot
\frac{\sin a-\sin x}{x-a}. Из задачи sin⁡x−sin⁡ax−a→cos⁡a.\frac{\sin x-\sin a}{x-a}\to\cos a. Значит, sin⁡a−sin⁡xx−a→−cos⁡a.\frac{\sin a-\sin x}{x-a}\to-\cos a. Кроме того, sin⁡x→sin⁡a.\sin x\to\sin a.

Проверка

lim⁡x→acosec⁡x−cosec⁡ax−a=−cos⁡asin⁡2a.\lim_{x\to a}
\frac{\operatorname{cosec}x-\operatorname{cosec}a}{x-a}
=
-\frac{\cos a}{\sin^2a}
.