Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 483

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 483

lim⁡x→acos⁡x−cos⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\cos x-\cos a}{x-a}.

Решение

Идея

Используем формулу разности косинусов: cos⁡x−cos⁡a=−2sin⁡x+a2sin⁡x−a2.\cos x-\cos a = -2\sin\frac{x+a}{2} \sin\frac{x-a}{2}. Тогда cos⁡x−cos⁡ax−a=−2sin⁡x+a2sin⁡x−a2x−a.\frac{\cos x-\cos a}{x-a}
=
-\frac{
2\sin\frac{x+a}{2}\sin\frac{x-a}{2}
}{x-a}. Так как x−a=2⋅x−a2,x-a=2\cdot\frac{x-a}{2}, откуда cos⁡x−cos⁡ax−a=−sin⁡x+a2⋅sin⁡x−a2x−a2.\frac{\cos x-\cos a}{x-a}
=
-\sin\frac{x+a}{2}
\cdot
\frac{
\sin\frac{x-a}{2}
}{
\frac{x-a}{2}
}. При x→ax\to a sin⁡x+a2→sin⁡a,\sin\frac{x+a}{2}\to\sin a, а по первому замечательному пределу sin⁡x−a2x−a2→1.\frac{
\sin\frac{x-a}{2}
}{
\frac{x-a}{2}
}
\to1.
lim⁡x→acos⁡x−cos⁡ax−a=−sin⁡a.\boxed{
\lim_{x\to a}
\frac{\cos x-\cos a}{x-a}
=
-\sin a
}.
Демидович № 483 — решение