Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1129

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1129

y=f(φ(x)),y=f(\varphi(x)),где φ(x)\varphi(x) — достаточное число раз дифференцируемая функция.

Решение

Найдём первую производную:y′=f′(φ(x))⋅φ′(x)y' = f'(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)Найдём вторую производную:y′′=(f′(φ(x)))′⋅φ′(x)+f′(φ(x))⋅(φ′(x))′=y'' = (f'(\varphi(x)))' \cdot \varphi'(x) + f'(\varphi(x)) \cdot (\varphi'(x))' ==f′′(φ(x))⋅φ′(x)⋅φ′(x)+f′(φ(x))⋅φ′′(x)=f′′(φ(x))(φ′(x))2+f′(φ(x))φ′′(x)= f''(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) \cdot \varphi'(x) + f'(\varphi(x)) \cdot \varphi''(x) = f''(\varphi(x)) (\varphi'(x))^2 + f'(\varphi(x)) \varphi''(x)Найдём третью производную:y′′′=(f′′(φ(x))(φ′(x))2)′+(f′(φ(x))φ′′(x))′=y''' = \left( f''(\varphi(x)) (\varphi'(x))^2 \right)' + \left( f'(\varphi(x)) \varphi''(x) \right)' ==f′′′(φ(x))⋅φ′(x)⋅(φ′(x))2+f′′(φ(x))⋅2φ′(x)φ′′(x)+= f'''(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) \cdot (\varphi'(x))^2 + f''(\varphi(x)) \cdot 2\varphi'(x)\varphi''(x) ++f′′(φ(x))⋅φ′(x)⋅φ′′(x)+f′(φ(x))⋅φ′′′(x)=+ f''(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) \cdot \varphi''(x) + f'(\varphi(x)) \cdot \varphi'''(x) ==f′′′(φ(x))(φ′(x))3+3f′′(φ(x))φ′(x)φ′′(x)+f′(φ(x))φ′′′(x)= f'''(\varphi(x)) (\varphi'(x))^3 + 3 f''(\varphi(x)) \varphi'(x) \varphi''(x) + f'(\varphi(x)) \varphi'''(x)
Демидович № 1129 — решение