Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1137

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=a^u,\qquad a>0.

Решение

Идея

Первый дифференциал показательной функции имеет вид:

dy = a^u \ln a \, du

Найдём второй дифференциал, применяя правило дифференцирования произведения, учитывая, что

\ln a

— константа:

d^2y = d(a^u \ln a \, du) = \ln a \cdot d(a^u \, du) = \ln a \left( d(a^u) \cdot du + a^u \cdot d(du) \right)

Подставим

d(a^u) = a^u \ln a \, du

d(du) = d^2u

d^2y = \ln a \left( a^u \ln a \, du \cdot du + a^u d^2u \right) = \ln a \left( a^u \ln^2 a \, du^2 + a^u d^2u \right)

Вынося

a^u

за скобки, получим:

d^2y = a^u \ln a \left( \ln a \, du^2 + d^2u \right)