Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1137

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть uu и vv — дважды дифференцируемые функции от xx. Найти d2yd^2y, если:

Задача 1137

y=au,a>0.y=a^u,
\qquad a>0.

Решение

Первый дифференциал показательной функции имеет вид:
dy=auln⁡a dudy = a^u \ln a \, duНайдём второй дифференциал, применяя правило дифференцирования произведения, учитывая, что ln⁡a\ln a — константа:d2y=d(auln⁡a du)=ln⁡a⋅d(au du)=ln⁡a(d(au)⋅du+au⋅d(du))d^2y = d(a^u \ln a \, du) = \ln a \cdot d(a^u \, du) = \ln a \left( d(a^u) \cdot du + a^u \cdot d(du) \right)Подставим d(au)=auln⁡a dud(a^u) = a^u \ln a \, du и d(du)=d2ud(du) = d^2u:d2y=ln⁡a(auln⁡a du⋅du+aud2u)=ln⁡a(auln⁡a du2+aud2u)d^2y = \ln a \left( a^u \ln a \, du \cdot du + a^u d^2u \right) = \ln a \left( a^u \ln a \, du^2 + a^u d^2u \right)Вынося aua^u за скобки, получим:d2y=auln⁡a(ln⁡a du2+d2u)d^2y = a^u \ln a \left( \ln a \, du^2 + d^2u \right)