Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1145

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть функция

y=f(x)

дифференцируема достаточное число раз. Найти производные

x'

x''

x'''

x^{\mathrm{IV}}

обратной функции

x=f^{-1}(y),

предполагая, что эти производные существуют.

Решение

Здесь независимой переменной является

y

, а функцией —

x(y)

. Для краткости обозначим производные функции

y=f(x)

по переменной

x

как

y'_x, y''_{xx}

и т. д. По правилу дифференцирования обратной функции:

x'_y = \frac{1}{y'_x}

Для вычисления производных более высоких порядков используем правило дифференцирования сложной функции:

\frac{d}{dy}(\dots) = \frac{d}{dx}(\dots) \cdot x'_y = \frac{d}{dx}(\dots) \cdot \frac{1}{y'_x}

Вторая производная:

x''_{yy} = (x'_y)'_y = \left( \frac{1}{y'_x} \right)'_x \cdot \frac{1}{y'_x} = -\frac{y''_{xx}}{(y'_x)^2} \cdot \frac{1}{y'_x} = -\frac{y''_{xx}}{(y'_x)^3}

Третья производная:

\displaystyle x'''_{yyy}\mathrel{=}

Четвёртая производная:

\displaystyle x^{\mathrm{IV}}_{yyyy}\mathrel{=}

Проверка

Ненулевое значение

f'(x)

здесь необходимо: дифференцирование тождества

f(x(y))=y

даёт

f'(x)x'_y=1

. Поэтому все деления в решении законны в точках, где существуют указанные конечные производные обратной функции.