Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1124

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть u=φ(x)u=\varphi(x) и v=ψ(x)v=\psi(x) — дважды дифференцируемые функции. Найти y′′y'', если:

Задача 1124

y=uv,u>0.y=u^v,
\qquad u>0.

Решение

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством, чтобы представить степенно-показательную функцию в виде:
y=evln⁡uy = e^{v \ln u}Найдём первую производную, применяя цепное правило и правило дифференцирования произведения:y′=evln⁡u⋅(vln⁡u)′=uv(v′ln⁡u+vu′u)y' = e^{v \ln u} \cdot (v \ln u)' = u^v \left( v' \ln u + v \frac{u'}{u} \right)Найдём вторую производную:y′′=(uv)′(v′ln⁡u+vu′u)+uv(v′ln⁡u+vu′u)′y'' = (u^v)' \left( v' \ln u + v \frac{u'}{u} \right) + u^v \left( v' \ln u + v \frac{u'}{u} \right)'Подставим ранее найденное выражение для (uv)′(u^v)':y′′=uv(v′ln⁡u+vu′u)2+uv(v′ln⁡u+vu′u)′y'' = u^v \left( v' \ln u + v \frac{u'}{u} \right)^2 + u^v \left( v' \ln u + v \frac{u'}{u} \right)'Теперь вычислим производную скобки:(v′ln⁡u+vu′u)′=v′′ln⁡u+v′u′u+(v′u′+vu′′)u−vu′⋅u′u2=\left( v' \ln u + v \frac{u'}{u} \right)' = v'' \ln u + v' \frac{u'}{u} + \frac{(v'u' + vu'')u - vu' \cdot u'}{u^2} ==v′′ln⁡u+u′v′u+u′v′u+vu′′u−v(u′)2u2=v′′ln⁡u+2u′v′u+vu′′u−v(u′)2u2= v'' \ln u + \frac{u'v'}{u} + \frac{u'v'}{u} + \frac{vu''}{u} - \frac{v(u')^2}{u^2} = v'' \ln u + \frac{2u'v'}{u} + \frac{vu''}{u} - \frac{v(u')^2}{u^2}Подставим это обратно и вынесем общий множитель uvu^v:y′′=uv[(v′ln⁡u+vu′u)2+v′′ln⁡u+2u′v′u+vu′′u−v(u′)2u2]y'' = u^v \left[ \left( v' \ln u + v \frac{u'}{u} \right)^2 + v'' \ln u + \frac{2u'v'}{u} + \frac{vu''}{u} - \frac{v(u')^2}{u^2} \right]Это и есть искомая вторая производная.