Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1111

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=x\sqrt{1+x^2}.

Решение

Идея

Найдём первую производную функции, используя правило дифференцирования произведения:

y' = 1 \cdot \sqrt{1+x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \sqrt{1+x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}

Приведём к общему знаменателю:

y' = \frac{1+x^2+x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}

Теперь продифференцируем полученное выражение, чтобы найти вторую производную:

y'' = \left( \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}} \right)' = \frac{4x\sqrt{1+x^2} - (1+2x^2)\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}

Домножим числитель и знаменатель на

\sqrt{1+x^2}

y'' = \frac{4x(1+x^2) - x(1+2x^2)}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{4x + 4x^3 - x - 2x^3}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{3x + 2x^3}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}

Вынесем

x

за скобки:

y'' = \frac{x(2x^2+3)}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}