Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1136

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=u^mv^n,

где

m

n

— постоянные.

Решение

Найдём первый дифференциал:

dy = d(u^m)v^n + u^m d(v^n) = m u^{m-1}v^n\,du + n u^m v^{n-1}\,dv

Вычислим второй дифференциал, дифференцируя каждое слагаемое как произведение:

d^2y = d(m u^{m-1}v^n\,du) + d(n u^m v^{n-1}\,dv)

Распишем первое слагаемое:

d(m u^{m-1}v^n\,du) = m \left[ d(u^{m-1}v^n)du + u^{m-1}v^n\,d^2u \right] =

= m \left[ \left( (m-1)u^{m-2}v^n\,du + n u^{m-1}v^{n-1}\,dv \right)du + u^{m-1}v^n\,d^2u \right] =

= m(m-1)u^{m-2}v^n\,du^2 + mn u^{m-1}v^{n-1}\,du\,dv + m u^{m-1}v^n\,d^2u

Распишем второе слагаемое:

d(n u^m v^{n-1}\,dv) = n \left[ d(u^m v^{n-1})dv + u^m v^{n-1}\,d^2v \right] =

= n \left[ \left( m u^{m-1}v^{n-1}\,du + (n-1)u^m v^{n-2}\,dv \right)dv + u^m v^{n-1}\,d^2v \right] =

= mn u^{m-1}v^{n-1}\,du\,dv + n(n-1)u^m v^{n-2}\,dv^2 + n u^m v^{n-1}\,d^2v

Сложим оба выражения и вынесем общий множитель

u^{m-2}v^{n-2}

d^2y = u^{m-2}v^{n-2} \Big[ m(m-1)v^2\,du^2 + 2mn uv\,du\,dv + n(n-1)u^2\,dv^2 + m uv^2\,d^2u + n u^2v\,d^2v \Big]