Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1136

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть uu и vv — дважды дифференцируемые функции от xx. Найти d2yd^2y, если:

Задача 1136

y=umvn,y=u^mv^n,где mm и nn — постоянные.

Решение

Найдём первый дифференциал:dy=d(um)vn+umd(vn)=mum−1vn du+numvn−1 dvdy = d(u^m)v^n + u^m d(v^n) = m u^{m-1}v^n\,du + n u^m v^{n-1}\,dvВычислим второй дифференциал, дифференцируя каждое слагаемое как произведение:d2y=d(mum−1vn du)+d(numvn−1 dv)d^2y = d(m u^{m-1}v^n\,du) + d(n u^m v^{n-1}\,dv)Распишем первое слагаемое:d(mum−1vn du)=m[d(um−1vn)du+um−1vn d2u]=d(m u^{m-1}v^n\,du) = m \left[ d(u^{m-1}v^n)du + u^{m-1}v^n\,d^2u \right] ==m[((m−1)um−2vn du+num−1vn−1 dv)du+um−1vn d2u]== m \left[ \left( (m-1)u^{m-2}v^n\,du + n u^{m-1}v^{n-1}\,dv \right)du + u^{m-1}v^n\,d^2u \right] ==m(m−1)um−2vn du2+mnum−1vn−1 du dv+mum−1vn d2u= m(m-1)u^{m-2}v^n\,du^2 + mn u^{m-1}v^{n-1}\,du\,dv + m u^{m-1}v^n\,d^2uРаспишем второе слагаемое:d(numvn−1 dv)=n[d(umvn−1)dv+umvn−1 d2v]=d(n u^m v^{n-1}\,dv) = n \left[ d(u^m v^{n-1})dv + u^m v^{n-1}\,d^2v \right] ==n[(mum−1vn−1 du+(n−1)umvn−2 dv)dv+umvn−1 d2v]== n \left[ \left( m u^{m-1}v^{n-1}\,du + (n-1)u^m v^{n-2}\,dv \right)dv + u^m v^{n-1}\,d^2v \right] ==mnum−1vn−1 du dv+n(n−1)umvn−2 dv2+numvn−1 d2v= mn u^{m-1}v^{n-1}\,du\,dv + n(n-1)u^m v^{n-2}\,dv^2 + n u^m v^{n-1}\,d^2vСложим оба выражения и вынесем общий множитель um−2vn−2u^{m-2}v^{n-2}:d2y=um−2vn−2[m(m−1)v2 du2+2mnuv du dv+n(n−1)u2 dv2+muv2 d2u+nu2v d2v]d^2y = u^{m-2}v^{n-2} \Big[ m(m-1)v^2\,du^2 + 2mn uv\,du\,dv + n(n-1)u^2\,dv^2 + m uv^2\,d^2u + n u^2v\,d^2v \Big]

Проверка

Для произвольных вещественных m,nm,n формула применяется при u>0u>0, v>0v>0. Если показатели позволяют неположительные основания, можно использовать те же правила там, где степени дважды дифференцируемы. При нулевых основаниях сначала следует упростить исходное произведение: формальное выражение 0⋅u−10\cdot u^{-1} не определено.