Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1139

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

u

v

— дважды дифференцируемые функции от

x

. Найти

d^2y

, если:

y=\arctan\frac uv.

Решение

Найдём первый дифференциал, применяя цепное правило:

dy = \frac{1}{1 + \left(\frac{u}{v}\right)^2} d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v^2}{u^2+v^2} \cdot \frac{v\,du - u\,dv}{v^2} = \frac{v\,du - u\,dv}{u^2+v^2}

Найдём второй дифференциал как дифференциал полученной дроби:

d^2y = d\left( \frac{v\,du - u\,dv}{u^2+v^2} \right) = \frac{d(v\,du - u\,dv)(u^2+v^2) - (v\,du - u\,dv)d(u^2+v^2)}{(u^2+v^2)^2}

Вычислим дифференциалы в числителе:

d(v\,du - u\,dv) = (dv\,du + v\,d^2u) - (du\,dv + u\,d^2v) = v\,d^2u - u\,d^2v

d(u^2+v^2) = 2u\,du + 2v\,dv = 2(u\,du + v\,dv)

Подставим их в выражение для второго дифференциала:

d^2y = \frac{(v\,d^2u - u\,d^2v)(u^2+v^2) - 2(v\,du - u\,dv)(u\,du + v\,dv)}{(u^2+v^2)^2}

Это выражение можно оставить в таком виде, либо почленно разделить на

(u^2+v^2)

, получив:

d^2y = \frac{v\,d^2u - u\,d^2v}{u^2+v^2} - \frac{2(v\,du - u\,dv)(u\,du + v\,dv)}{(u^2+v^2)^2}

Проверка

Формулы применяются при

v\ne0