Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1160

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}};

найти

y^{(100)}

Решение

Идея

Преобразуем функцию так, чтобы выделить слагаемые вида

(1-x)^\alpha

y = \frac{2 - (1-x)}{\sqrt{1-x}} = 2(1-x)^{-1/2} - (1-x)^{1/2}

Адаптируем формулы для

n

-й производной, учитывая производную внутренней функции

1-x

, которая даёт множитель

(-1)

на каждом шаге дифференцирования

\left( (1-x)^\alpha \right)' = -\alpha(1-x)^{\alpha-1}

\left( (1-x)^\alpha \right)^{(n)} = (-1)^n \alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)(1-x)^{\alpha-n}

Для

\alpha = -1/2

имеем

\left( (1-x)^{-1/2} \right)^{(n)} = (-1)^n \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\dots\left(-\frac{2n-1}{2}\right)(1-x)^{-n-1/2} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}(1-x)^{-n-1/2}

Для

\alpha = 1/2

имеем

\left( (1-x)^{1/2} \right)^{(n)} = (-1)^n \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\dots\left(-\frac{2n-3}{2}\right)(1-x)^{-n+1/2} = -\frac{(2n-3)!!}{2^n}(1-x)^{-n+1/2}

Тогда

n

-я производная нашей функции равна

y^{(n)} = 2 \frac{(2n-1)!!}{2^n}(1-x)^{-n-1/2} - \left( -\frac{(2n-3)!!}{2^n}(1-x)^{-n+1/2} \right)

Вынесем общий множитель

\frac{(2n-3)!!}{2^n}(1-x)^{-n-1/2}

за скобки

y^{(n)} = \frac{(2n-3)!!}{2^n (1-x)^{n+1/2}} \Big( 2(2n-1) + (1-x) \Big) = \frac{(2n-3)!!}{2^n (1-x)^{n+1/2}} (4n - 1 - x)

Подставляя

n = 100

, получаем

y^{(100)} = \frac{197!!}{2^{100} (1-x)^{100+1/2}} (400 - 1 - x) = \frac{197!! \cdot (399 - x)}{2^{100} (1-x)^{100} \sqrt{1-x}}