Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1128

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

f

— трижды дифференцируемая функция. Найти

y''

y'''

, если:

y=f(\ln x).

Решение

Найдём первую производную:

y' = f'(\ln x) \cdot (\ln x)' = \frac{1}{x} f'(\ln x)

Найдём вторую производную, используя правило дифференцирования дроби:

y'' = \frac{(f'(\ln x))' \cdot x - f'(\ln x) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{f''(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \cdot x - f'(\ln x)}{x^2} = \frac{f''(\ln x) - f'(\ln x)}{x^2}

Найдём третью производную:

y''' = \frac{(f''(\ln x) - f'(\ln x))' \cdot x^2 - (f''(\ln x) - f'(\ln x)) \cdot (x^2)'}{x^4} =

= \frac{\left( f'''(\ln x) \frac{1}{x} - f''(\ln x) \frac{1}{x} \right) x^2 - 2x(f''(\ln x) - f'(\ln x))}{x^4} =

= \frac{x f'''(\ln x) - x f''(\ln x) - 2x f''(\ln x) + 2x f'(\ln x)}{x^4} = \frac{f'''(\ln x) - 3f''(\ln x) + 2f'(\ln x)}{x^3}