Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1134

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть uu и vv — дважды дифференцируемые функции от xx. Найти d2yd^2y, если:

Задача 1134

y=uv.y=uv.

Решение

Найдём первый дифференциал функции, используя правило дифференцирования произведения:
dy=d(uv)=v du+u dvdy = d(uv) = v\,du + u\,dvВторой дифференциал — это дифференциал от первого дифференциала. Поскольку uu и vv зависят от xx, их дифференциалы dudu и dvdv не являются константами, и к ним также применяется операция дифференцирования (d(du)=d2ud(du) = d^2u, d(dv)=d2vd(dv) = d^2v):d2y=d(dy)=d(v du+u dv)=d(v du)+d(u dv)d^2y = d(dy) = d(v\,du + u\,dv) = d(v\,du) + d(u\,dv)Раскроем дифференциалы произведений:d(v du)=dv du+v d2ud(v\,du) = dv\,du + v\,d^2ud(u dv)=du dv+u d2vd(u\,dv) = du\,dv + u\,d^2vСложим полученные выражения:d2y=dv du+v d2u+du dv+u d2v=u d2v+2 du dv+v d2ud^2y = dv\,du + v\,d^2u + du\,dv + u\,d^2v = u\,d^2v + 2\,du\,dv + v\,d^2u