Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1134

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=uv.

Решение

Идея

Найдём первый дифференциал функции, используя правило дифференцирования произведения:

dy = d(uv) = v\,du + u\,dv

Второй дифференциал — это дифференциал от первого дифференциала. Поскольку

u

v

зависят от

x

, их дифференциалы

du

dv

не являются константами, и к ним также применяется операция дифференцирования (

d(du) = d^2u

d(dv) = d^2v

d^2y = d(dy) = d(v\,du + u\,dv) = d(v\,du) + d(u\,dv)

Раскроем дифференциалы произведений:

d(v\,du) = dv\,du + v\,d^2u

d(u\,dv) = du\,dv + u\,d^2v

Сложим полученные выражения:

d^2y = dv\,du + v\,d^2u + du\,dv + u\,d^2v = u\,d^2v + 2\,du\,dv + v\,d^2u