Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1146

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y'

y''

y'''

функции, заданной неявно:

x^2+y^2=25.

Чему равны

y'

y''

y'''

в точке

M(3,4)

Решение

Продифференцируем обе части уравнения по

x

, учитывая, что

y

является функцией от

x

2x + 2yy' = 0 \implies x + yy' = 0 \implies y' = -\frac{x}{y}

Найдём вторую производную, дифференцируя

y'

по

x

y'' = \left( -\frac{x}{y} \right)' = -\frac{1 \cdot y - x \cdot y'}{y^2} = -\frac{y - x\left(-\frac{x}{y}\right)}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}

Так как по условию

x^2 + y^2 = 25

, получаем:

y'' = -\frac{25}{y^3}

Найдём третью производную:

y''' = \left( -25y^{-3} \right)' = -25(-3)y^{-4}y' = \frac{75}{y^4}\left( -\frac{x}{y} \right) = -\frac{75x}{y^5}

Вычислим значения производных в точке

M(3,4)

, подставив

x=3

y=4

\begin{aligned}y'(3) &= -\frac{3}{4}, \\y''(3) &= -\frac{25}{4^3} = -\frac{25}{64}, \\y'''(3) &= -\frac{75 \cdot 3}{4^5} = -\frac{225}{1024}\end{aligned}

Проверка

Формулы действуют при

y\ne0

, то есть на открытых верхней и нижней полуокружностях. В точке

M(3,4)

это условие выполнено. При

y=0

касательная вертикальна и конечной первой производной нет.