Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1122

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

u=\varphi(x)

v=\psi(x)

— дважды дифференцируемые функции. Найти

y''

, если:

y=\ln\frac uv.

Решение

Для упрощения вычислений воспользуемся свойством логарифма частного:

y = \ln|u| - \ln|v|

Найдём первую производную:

y' = (\ln|u|)' - (\ln|v|)' = \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v}

Теперь продифференцируем результат ещё раз, применяя правило дифференцирования дроби к каждому слагаемому:

y'' = \left(\frac{u'}{u}\right)' - \left(\frac{v'}{v}\right)' = \frac{u''u - u' \cdot u'}{u^2} - \frac{v''v - v' \cdot v'}{v^2} = \frac{u''u - (u')^2}{u^2} - \frac{v''v - (v')^2}{v^2}

Проверка

Исходный логарифм требует

u/v>0

, то есть

u

v

должны быть ненулевыми и иметь одинаковый знак.