Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1122

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1122

y=ln⁡uv.y=\ln\frac uv.

Решение

Идея

Для упрощения вычислений воспользуемся свойством логарифма частного:
y=ln⁡u−ln⁡vy = \ln u - \ln vНайдём первую производную:y′=(ln⁡u)′−(ln⁡v)′=u′u−v′vy' = (\ln u)' - (\ln v)' = \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v}Теперь продифференцируем результат ещё раз, применяя правило дифференцирования дроби к каждому слагаемому:y′′=(u′u)′−(v′v)′=u′′u−u′⋅u′u2−v′′v−v′⋅v′v2=u′′u−(u′)2u2−v′′v−(v′)2v2y'' = \left(\frac{u'}{u}\right)' - \left(\frac{v'}{v}\right)' = \frac{u''u - u' \cdot u'}{u^2} - \frac{v''v - v' \cdot v'}{v^2} = \frac{u''u - (u')^2}{u^2} - \frac{v''v - (v')^2}{v^2}