Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1141

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти производные

y'_x

y''_{xx}

y'''_{xxx}

функции, заданной параметрически:

x=a\cos t,\qquad y=a\sin t.

Решение

Найдём производные по параметру

t

\begin{aligned}x'_t &= -a\sin t \\y'_t &= a\cos t\end{aligned}

Первая производная:

y'_x = \frac{a\cos t}{-a\sin t} = -\cot t

Вторая производная:

y''_{xx} = \frac{(-\cot t)'_t}{-a\sin t} = \frac{\frac{1}{\sin^2 t}}{-a\sin t} = -\frac{1}{a\sin^3 t}

Третья производная:

y'''_{xxx} = \frac{\left( -\frac{1}{a}\sin^{-3} t \right)'_t}{-a\sin t} = \frac{-\frac{1}{a} \cdot (-3)\sin^{-4} t \cdot \cos t}{-a\sin t} = -\frac{3\cos t}{a^2\sin^5 t}

Проверка

Формулы применяются при

a\ne0

\sin t\ne0