Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1141

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1141

x=acos⁡t,y=asin⁡t.x=a\cos t,
\qquad y=a\sin t.

Решение

Найдём производные по параметру tt:xt′=−asin⁡tyt′=acos⁡t\begin{aligned}
x'_t &= -a\sin t \\
y'_t &= a\cos t
\end{aligned}Первая производная:yx′=acos⁡t−asin⁡t=−cot⁡ty'_x = \frac{a\cos t}{-a\sin t} = -\cot tВторая производная:yxx′′=(−cot⁡t)t′−asin⁡t=1sin⁡2t−asin⁡t=−1asin⁡3ty''_{xx} = \frac{(-\cot t)'_t}{-a\sin t} = \frac{\frac{1}{\sin^2 t}}{-a\sin t} = -\frac{1}{a\sin^3 t}Третья производная:yxxx′′′=(−1asin⁡−3t)t′−asin⁡t=−1a⋅(−3)sin⁡−4t⋅cos⁡t−asin⁡t=−3cos⁡ta2sin⁡5ty'''_{xxx} = \frac{\left( -\frac{1}{a}\sin^{-3} t \right)'_t}{-a\sin t} = \frac{-\frac{1}{a} \cdot (-3)\sin^{-4} t \cdot \cos t}{-a\sin t} = -\frac{3\cos t}{a^2\sin^5 t}
Демидович № 1141 — решение