Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1153

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1153

Точка M(x,y)M(x,y) равномерно движется по окружностиx2+y2=a2,x^2+y^2=a^2,делая один оборот за время TT. Найти скорость vv и ускорение ww проекции точки MM на ось OxOx, если при t=0t=0 точка занимала положение M0(a,0)M_0(a,0).

Решение

Идея

Так как точка равномерно движется по окружности и делает один оборот (угол 2π2\pi) за время TT, её угловая скорость постоянна и равна ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T}.
Угол поворота φ(t)\varphi(t) в момент времени tt вычисляется по формуле φ(t)=ωt=2πTt\varphi(t) = \omega t = \frac{2\pi}{T}t (поскольку начальное положение соответствует углу φ=0\varphi=0).
Уравнения движения точки MM в параметрическом виде (проекции на координатные оси):x(t)=acos⁡(2πTt)y(t)=asin⁡(2πTt)\begin{aligned}
x(t) = a\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right) \\
y(t) = a\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)
\end{aligned}Проекция точки на ось OxOx задаётся функцией x(t)x(t).
Скорость vv проекции — это первая производная координаты x(t)x(t):v=x′(t)=−a⋅2πTsin⁡(2πTt)v = x'(t) = -a \cdot \frac{2\pi}{T} \sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)Ускорение ww проекции — это вторая производная координаты x(t)x(t):w=x′′(t)=−a(2πT)2cos⁡(2πTt)=−4π2aT2cos⁡(2πTt)w = x''(t) = -a \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right) = -\frac{4\pi^2 a}{T^2} \cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)
Демидович № 1153 — решение