Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1118

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти y′′y'', если:

Задача 1118

y=ln⁡f(x).y=\ln f(x).
Ответ:Если ff дважды дифференцируема и f(x)>0f(x)>0, тоy′′=f′′(x)f(x)−(f′(x))2f2(x).y''=\frac{f''(x)f(x)-(f'(x))^2}{f^2(x)}.

Решение

Рассматриваем промежуток, на котором ff дважды дифференцируема и f(x)>0f(x)>0. Применим правило дифференцирования сложной функции:
y′=1f(x)⋅f′(x)=f′(x)f(x)y' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}Теперь применим правило дифференцирования частного для нахождения y′′y'':y′′=(f′(x))′⋅f(x)−f′(x)⋅f′(x)(f(x))2=f′′(x)f(x)−(f′(x))2f2(x)y'' = \frac{(f'(x))' \cdot f(x) - f'(x) \cdot f'(x)}{(f(x))^2} = \frac{f''(x)f(x) - (f'(x))^2}{f^2(x)}

Проверка

Предполагается, что ff дважды дифференцируема и f(x)>0f(x)>0 на рассматриваемом промежутке.