Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5

Демидович § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Условия, ответы и подробные решения задач 1111–1234

Задачи 1111–1234

126 из 126 с разбором

Формулы для производных и дифференциалов

1211–1218

Задача 1211

y=xnexy=x^ne^x

Задача 1212

y=ln⁡xxy=\frac{\ln x}{x}

Задача 1213

Доказать равенства:1)[eaxsin⁡(bx+c)](n)=eax(a2+b2)n2sin⁡(bx+c+nφ)1)\quad [e^{ax}\sin(bx+c)]^{(n)}
=e^{ax}(a^2+b^2)^{\frac n2}\sin(bx+c+n\varphi)2)[eaxcos⁡(bx+c)](n)=eax(a2+b2)n2cos⁡(bx+c+nφ)2)\quad [e^{ax}\cos(bx+c)]^{(n)}
=e^{ax}(a^2+b^2)^{\frac n2}\cos(bx+c+n\varphi)гдеsin⁡φ=ba2+b2,cos⁡φ=aa2+b2\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},
\qquad
\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}

Задача 1214

Найти y(n)y^{(n)}, если:а) y=ch⁡axcos⁡bx;б) y=ch⁡axsin⁡bx\text{а) }y=\operatorname{ch}ax\cos bx;
\qquad
\text{б) }y=\operatorname{ch}ax\sin bx

Задача 1215

Преобразовав функциюf(x)=sin⁡2px,f(x)=\sin^{2p}x,где pp — натуральное число, в тригонометрический многочленf(x)=∑k=0pAkcos⁡2kx,f(x)=\sum_{k=0}^{p}A_k\cos 2kx,найти f(n)(x)f^{(n)}(x).
Указание. Положитьsin⁡x=12i(t−tˉ),\sin x=\frac1{2i}(t-\bar t),где t=cos⁡x+isin⁡xt=\cos x+i\sin x и tˉ=cos⁡x−isin⁡x\bar t=\cos x-i\sin x, и воспользоваться формулой Муавра.

Задача 1216

Найти f(n)(x)f^{(n)}(x), если:а) f(x)=sin⁡2p+1x;б) f(x)=cos⁡2px;в) f(x)=cos⁡2p+1x,\text{а) }f(x)=\sin^{2p+1}x;
\qquad
\text{б) }f(x)=\cos^{2p}x;
\qquad
\text{в) }f(x)=\cos^{2p+1}x,где pp — целое положительное число (см. предыдущую задачу).
Еслиf(x)=f1(x)+if2(x),f(x)=f_1(x)+if_2(x),где ii — мнимая единица и f1(x),f2(x)f_1(x),f_2(x) — действительные функции от действительной переменной xx, то по определению принимаем:f′(x)=f1′(x)+if2′(x).f'(x)=f_1'(x)+if_2'(x).

Задача 1217

Используя тождество1x2+1=12i(1x−i−1x+i)\frac1{x^2+1}=\frac1{2i}\left(\frac1{x-i}-\frac1{x+i}\right)доказать, что(1x2+1)(n)=(−1)nn!(1+x2)n+12sin⁡[(n+1)arcctg⁡x]\left(\frac1{x^2+1}\right)^{(n)}
=\frac{(-1)^nn!}{(1+x^2)^{\frac{n+1}{2}}}
\sin[(n+1)\operatorname{arcctg}x]

Задача 1218

Найти nn-ю производную от функцииf(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x

Опирается на задачу 1217

Высшие производные в заданных точках

1219–1225

Задача 1219

а) f(x)=1(1−2x)(1+x);б) f(x)=x1−x\text{а) }f(x)=\frac1{(1-2x)(1+x)};
\qquad
\text{б) }f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x}}

Задача 1220

а) f(x)=x2eax;б) f(x)=arctan⁡x;в) f(x)=arcsin⁡x\text{а) }f(x)=x^2e^{ax};
\qquad
\text{б) }f(x)=\arctan x;
\qquad
\text{в) }f(x)=\arcsin x

Задача 1221

а) f(x)=cos⁡(marcsin⁡x);б) f(x)=sin⁡(marcsin⁡x)\text{а) }f(x)=\cos(m\arcsin x);
\qquad
\text{б) }f(x)=\sin(m\arcsin x)

Задача 1222

а) f(x)=(arctan⁡x)2;б) f(x)=(arcsin⁡x)2\text{а) }f(x)=(\arctan x)^2;
\qquad
\text{б) }f(x)=(\arcsin x)^2

Опирается на задачу 1220

Задача 1223

Найти f(n)(a)f^{(n)}(a), еслиf(x)=(x−a)nφ(x)f(x)=(x-a)^n\varphi(x)где функция φ(x)\varphi(x) имеет непрерывную производную (n−1)(n-1)-го порядка в окрестности точки aa.

Задача 1224

Доказать, что функцияf(x)={x2nsin⁡1x,x≠0,0,x=0f(x)=
\begin{cases}
x^{2n}\sin\dfrac1x,&x\ne0,\\[2mm]
0,&x=0
\end{cases}(nn — натуральное число) в точке x=0x=0 имеет производные до nn-го порядка включительно и не имеет производной (n+1)(n+1)-го порядка.

Задача 1225

Доказать, что функцияf(x)={e−1x2,x≠0,0,x=0f(x)=
\begin{cases}
e^{-\frac1{x^2}},&x\ne0,\\
0,&x=0
\end{cases}бесконечно дифференцируема при x=0x=0.

Построить график этой функции.

Специальные многочлены и формулы дифференцирования

1226–1234

Задача 1226

Доказать, что многочлены ЧебышеваTm(x)=12m−1cos⁡(marccos⁡x)(m=1,2,…)T_m(x)=\frac1{2^{m-1}}\cos(m\arccos x)
\qquad(m=1,2,\ldots)удовлетворяют уравнению(1−x2)Tm′′(x)−xTm′(x)+m2Tm(x)=0.(1-x^2)T_m''(x)-xT_m'(x)+m^2T_m(x)=0.

Задача 1227

Доказать, что многочлены ЛежандраPm(x)=12mm![(x2−1)m](m)(m=0,1,2,…)P_m(x)=\frac1{2^m m!}\bigl[(x^2-1)^m\bigr]^{(m)}
\qquad(m=0,1,2,\ldots)удовлетворяют уравнению(1−x2)Pm′′(x)−2xPm′(x)+m(m+1)Pm(x)=0.(1-x^2)P_m''(x)-2xP_m'(x)+m(m+1)P_m(x)=0.Указание. Продифференцировать m+1m+1 раз равенство(x2−1)u′=2mxu,(x^2-1)u'=2mxu,где u=(x2−1)mu=(x^2-1)^m.

Задача 1228

Многочлены Чебышева–Лагерра определяются формулойLm(x)=ex(xme−x)(m)(m=0,1,2,…)L_m(x)=e^x(x^me^{-x})^{(m)}
\qquad(m=0,1,2,\ldots)Найти явное выражение для многочлена Lm(x)L_m(x).

Доказать, что Lm(x)L_m(x) удовлетворяет уравнениюxLm′′(x)+(1−x)Lm′(x)+mLm(x)=0xL_m''(x)+(1-x)L_m'(x)+mL_m(x)=0Указание. Использовать равенствоxu′+(x−m)u=0xu'+(x-m)u=0где u=xme−xu=x^me^{-x}.

Задача 1229

Пусть y=f(u)y=f(u) и u=φ(x)u=\varphi(x), где f(u)f(u) и φ(x)\varphi(x) — nn-кратно дифференцируемые функции.

Доказать, чтоdnydxn=∑k=1nAk(x)f(k)(u)\frac{d^ny}{dx^n}=\sum_{k=1}^{n}A_k(x)f^{(k)}(u)где коэффициенты Ak(x)A_k(x) (k=0,1,…,n)(k=0,1,\ldots,n) не зависят от функции f(u)f(u).

Задача 1230

Доказать, что для nn-й производной сложной функцииy=f(x2)y=f(x^2)справедлива формулаdnydxn=(2x)nf(n)(x2)+n(n−1)1!(2x)n−2f(n−1)(x2)+n(n−1)(n−2)(n−3)2!(2x)n−4f(n−2)(x2)+⋯\begin{aligned}
\frac{d^ny}{dx^n}
&=(2x)^nf^{(n)}(x^2)\\
&\quad+\frac{n(n-1)}{1!}(2x)^{n-2}f^{(n-1)}(x^2)\\
&\quad+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}(2x)^{n-4}f^{(n-2)}(x^2)
+\cdots
\end{aligned}

Задача 1231

Многочлены Чебышева–Эрмита определяются формулойHm(x)=(−1)mex2(e−x2)(m)(m=0,1,2,…)H_m(x)=(-1)^me^{x^2}(e^{-x^2})^{(m)}
\qquad(m=0,1,2,\ldots)Найти явное выражение для многочленов Hm(x)H_m(x).

Доказать, что Hm(x)H_m(x) удовлетворяет уравнениюHm′′(x)−2xHm′(x)+2mHm(x)=0H_m''(x)-2xH_m'(x)+2mH_m(x)=0Указание. Использовать равенствоu′+2xu=0u'+2xu=0где u=e−x2u=e^{-x^2}.

Опирается на задачу 1230

Задача 1232

Доказать равенство(xn−1e1x)(n)=(−1)nxn+1e1x\left(x^{n-1}e^{\frac1x}\right)^{(n)}
=\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}e^{\frac1x}Указание. Применить метод математической индукции.

Задача 1232.1

Доказать формулуdndxn(xnln⁡x)=n!(ln⁡x+∑k=1n1k),x>0\frac{d^n}{dx^n}(x^n\ln x)
=n!\left(\ln x+\sum_{k=1}^{n}\frac1k\right),
\qquad x>0

Задача 1232.2

Доказать формулуd2ndx2n(sin⁡xx)=(2n)!x2n+1[Cn(x)sin⁡x−Sn(x)cos⁡x]\frac{d^{2n}}{dx^{2n}}\left(\frac{\sin x}{x}\right)
=\frac{(2n)!}{x^{2n+1}}[C_n(x)\sin x-S_n(x)\cos x]гдеCn(x)=1−x22!+⋯+(−1)nx2n(2n)!C_n(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}Sn(x)=x−x33!+⋯+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!S_n(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}

Задача 1233

Пустьddx=D\frac d{dx}=Dобозначает операцию дифференцирования иf(D)=∑k=0npk(x)Dkf(D)=\sum_{k=0}^{n}p_k(x)D^k— символический дифференциальный многочлен, где pk(x)p_k(x) (k=0,1,…,n)(k=0,1,\ldots,n) — некоторые непрерывные функции от xx.

Доказать, чтоf(D){eλxu(x)}=eλxf(D+λ)u(x)f(D)\{e^{\lambda x}u(x)\}=e^{\lambda x}f(D+\lambda)u(x)где λ\lambda — постоянно.

Задача 1234

Доказать, что если в уравнении∑k=0nakxkyx(k)=0\sum_{k=0}^{n}a_kx^ky_x^{(k)}=0положитьx=etx=e^tгде tt — независимая переменная, то это уравнение примет вид:∑k=0nakD(D−1)⋯(D−k+1)y=0\sum_{k=0}^{n}a_kD(D-1)\cdots(D-k+1)y=0гдеD=ddtD=\frac d{dt}

Задачи 101–126 из 126