Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1138

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

u

v

— дважды дифференцируемые функции от

x

. Найти

d^2y

, если:

y=\ln\sqrt{u^2+v^2}.

Решение

Для упрощения дифференцирования перепишем функцию, используя свойства логарифма:

y = \frac{1}{2}\ln(u^2+v^2)

Найдём первый дифференциал:

dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^2+v^2} \cdot d(u^2+v^2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2u\,du + 2v\,dv}{u^2+v^2} = \frac{u\,du + v\,dv}{u^2+v^2}

Теперь вычислим второй дифференциал как дифференциал дроби:

d^2y = d\left( \frac{u\,du + v\,dv}{u^2+v^2} \right) = \frac{d(u\,du + v\,dv)(u^2+v^2) - (u\,du + v\,dv)d(u^2+v^2)}{(u^2+v^2)^2}

Вычислим дифференциалы в числителе:

d(u\,du + v\,dv) = du^2 + u\,d^2u + dv^2 + v\,d^2v

d(u^2+v^2) = 2u\,du + 2v\,dv = 2(u\,du + v\,dv)

Подставим в формулу второго дифференциала:

d^2y = \frac{(du^2 + u\,d^2u + dv^2 + v\,d^2v)(u^2+v^2) - 2(u\,du + v\,dv)^2}{(u^2+v^2)^2}

Разделим слагаемые для более компактной записи:

d^2y = \frac{u\,d^2u + v\,d^2v}{u^2+v^2} + \frac{(du^2+dv^2)(u^2+v^2) - 2(u\,du + v\,dv)^2}{(u^2+v^2)^2}

Преобразуем выражение во второй дроби. Воспользуемся алгебраическим тождеством

(u^2+v^2)(du^2+dv^2) - (u\,du + v\,dv)^2 = (v\,du - u\,dv)^2

(u^2+v^2)(du^2+dv^2) - 2(u\,du + v\,dv)^2 = (v\,du - u\,dv)^2 - (u\,du + v\,dv)^2

В итоге получаем:

d^2y = \frac{u\,d^2u + v\,d^2v}{u^2+v^2} + \frac{(v\,du - u\,dv)^2 - (u\,du + v\,dv)^2}{(u^2+v^2)^2}

Проверка

Формулы применяются при

u^2+v^2>0