Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1123

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

u=\varphi(x)

v=\psi(x)

— дважды дифференцируемые функции. Найти

y''

, если:

y=\sqrt{u^2+v^2}.

Решение

Найдём первую производную:

y' = \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}} \cdot (u^2+v^2)' = \frac{2uu' + 2vv'}{2\sqrt{u^2+v^2}} = \frac{uu' + vv'}{\sqrt{u^2+v^2}}

Дифференцируем повторно, применяя правило дифференцирования частного:

y'' = \frac{(uu' + vv')'\sqrt{u^2+v^2} - (uu' + vv')\left(\sqrt{u^2+v^2}\right)'}{u^2+v^2}

Вычислим производные, стоящие в числителе:

(uu' + vv')' = u'u' + uu'' + v'v' + vv'' = (u')^2 + uu'' + (v')^2 + vv''

\left(\sqrt{u^2+v^2}\right)' = \frac{uu' + vv'}{\sqrt{u^2+v^2}}

Подставим это обратно в выражение для

y''

y'' = \frac{\left( (u')^2 + uu'' + (v')^2 + vv'' \right)\sqrt{u^2+v^2} - (uu' + vv') \frac{uu' + vv'}{\sqrt{u^2+v^2}}}{u^2+v^2}

Умножим числитель и знаменатель на

\sqrt{u^2+v^2}

, чтобы избавиться от многоэтажности:

y'' = \frac{\left( (u')^2 + uu'' + (v')^2 + vv'' \right)(u^2+v^2) - (uu' + vv')^2}{(u^2+v^2)^{\frac{3}{2}}}

Раскроем скобки в числителе:

\left( (u')^2 + (v')^2 \right)(u^2+v^2) + (uu'' + vv'')(u^2+v^2) - \left( u^2(u')^2 + 2uu'vv' + v^2(v')^2 \right) =

= u^2(u')^2 + u^2(v')^2 + v^2(u')^2 + v^2(v')^2 + (uu'' + vv'')(u^2+v^2) - u^2(u')^2 - 2uu'vv' - v^2(v')^2 =

= (uu'' + vv'')(u^2+v^2) + u^2(v')^2 - 2uv \cdot u'v' + v^2(u')^2 =

= (u^2+v^2)(uu''+vv'') + (uv' - vu')^2

Следовательно, вторая производная имеет вид:

y'' = \frac{(u^2+v^2)(uu''+vv'') + (uv' - vu')^2}{(u^2+v^2)^{\frac{3}{2}}}

Проверка

Полученная формула действует при

u^2+v^2>0

. В общей нулевой точке

u=v=0

делить на этот знаменатель нельзя: существование производных нужно проверять по определению для заданных

u

v

. Например, при

u=x

v=0

получается

|x|

, не имеющая производной в нуле.