Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1120

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y(0)

y'(0)

y''(0)

, если

y=e^{\sin x}\cos(\sin x).

Решение

Сначала вычислим значение функции в точке

x = 0

y(0) = e^{\sin 0}\cos(\sin 0) = e^0\cos 0 = 1 \cdot 1 = 1

Для удобства дифференцирования введём замену

u = \sin x

. Тогда

y = e^u \cos u

, причём

u(0) = 0

u'(x) = \cos x

u'(0) = 1

.
Найдём первую производную

y'_x

y'_x = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (e^u \cos u - e^u \sin u) \cdot \cos x = e^{\sin x}(\cos(\sin x) - \sin(\sin x))\cos x

Вычислим

y'(0)

y'(0) = e^0 (\cos 0 - \sin 0) \cos 0 = 1 \cdot (1 - 0) \cdot 1 = 1

Теперь найдём вторую производную

y''_{xx}

. Обозначим

g(x) = e^{\sin x}(\cos(\sin x) - \sin(\sin x))

. Тогда

y'_x = g(x)\cos x

y''_{xx} = g'(x)\cos x + g(x)(-\sin x)

Заметим, что при

x=0

второе слагаемое обнуляется, так как

\sin 0 = 0

. Остаётся найти

g'(0)

G(u) = e^u(\cos u - \sin u),\qquad g(x)=G(\sin x)

G'_u = e^u(\cos u - \sin u) + e^u(-\sin u - \cos u) = -2e^u \sin u

Тогда по цепному правилу:

g'_x(0) = G'_u(0) \cdot u'(0) = (-2e^0 \sin 0) \cdot \cos 0 = 0 \cdot 1 = 0

Подставим в формулу для второй производной при

x=0

y''(0) = g'(0)\cos 0 - g(0)\sin 0 = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 0

Итак, искомые значения:

y(0) = 1, \qquad y'(0) = 1, \qquad y''(0) = 0