Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1159

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=\frac{x^2}{1-x};

найти

y^{(8)}

Решение

Выделим у рациональной дроби целую часть

y = \frac{x^2 - 1 + 1}{1-x} = \frac{(x-1)(x+1) + 1}{-(x-1)} = -x - 1 + \frac{1}{1-x}

При вычислении производных порядка

n \ge 2

многочлен первой степени

(-x - 1)

обращается в нуль. Поэтому

y^{(8)} = \left( \frac{1}{1-x} \right)^{(8)} = \left( (1-x)^{-1} \right)^{(8)}

Найдём

n

-ю производную для

(1-x)^{-1}

\left( (1-x)^{-1} \right)' = -1(1-x)^{-2}(-1) = 1!(1-x)^{-2}

\left( (1-x)^{-1} \right)'' = 1!(-2)(1-x)^{-3}(-1) = 2!(1-x)^{-3}

Докажем общую формулу индукцией. Если производная порядка

n

равна

n!(1-x)^{-n-1}

, то её производная равна

n!(-n-1)(1-x)^{-n-2}(-1)=(n+1)!(1-x)^{-n-2}

. База уже проверена. Поэтому

\left( (1-x)^{-1} \right)^{(n)} = n!(1-x)^{-(n+1)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}

Подставляя

n = 8

, получаем

y^{(8)} = \frac{8!}{(1-x)^9}=\frac{720\cdot7\cdot8}{(1-x)^9}=\frac{40320}{(1-x)^9}

Проверка

Формулы применяются при

x\ne1