Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1133

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Считая

x

независимой переменной, найти

d^2y

, если:

y=x^x.

Ответ:

d^2y=x^x\left((\ln x+1)^2+\frac1x\right)(dx)^2,\qquad x>0.

Решение

Снова воспользуемся формулой

d^2y = y'' dx^2

. Для дифференцирования представим показательно-степенную функцию в виде

y = e^{x \ln x}

.
Найдём первую производную:

y' = \left(e^{x \ln x}\right)' = e^{x \ln x} \cdot (x \ln x)' = x^x \left(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}\right) = x^x(\ln x + 1)

Найдём вторую производную, используя правило дифференцирования произведения:

y'' = (x^x)' \cdot (\ln x + 1) + x^x \cdot (\ln x + 1)'

Подставим ранее найденную производную

y'

y'' = x^x(\ln x + 1) \cdot (\ln x + 1) + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(\ln x + 1)^2 + x^{x-1}

Вынесем

x^x

за скобки:

y'' = x^x \left( (\ln x + 1)^2 + \frac{1}{x} \right)

Следовательно, второй дифференциал имеет вид:

d^2y = x^x \left( (\ln x + 1)^2 + \frac{1}{x} \right) dx^2

Проверка

Формулы применяются при

x>0