Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1140

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти производные yx′y'_x, yxx′′y''_{xx} и yxxx′′′y'''_{xxx} функции, заданной параметрически:

Задача 1140

x=2t−t2,y=3t−t3.x=2t-t^2,
\qquad y=3t-t^3.

Решение

Для функции y=y(x)y=y(x), заданной параметрически уравнениями x=x(t)x=x(t) и y=y(t)y=y(t), последовательные производные по xx вычисляются по формулам:
yx′=yt′xt′,yxx′′=(yx′)t′xt′,yxxx′′′=(yxx′′)t′xt′y'_x = \frac{y'_t}{x'_t}, \qquad
y''_{xx} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t}, \qquad
y'''_{xxx} = \frac{(y''_{xx})'_t}{x'_t}Найдём первые производные по параметру tt:xt′=2−2t=2(1−t),yt′=3−3t2=3(1−t2)\begin{aligned}
x'_t &= 2 - 2t = 2(1 - t), \\
y'_t &= 3 - 3t^2 = 3(1 - t^2)
\end{aligned}Вычислим первую производную yx′y'_x:yx′=3(1−t2)2(1−t)=3(1−t)(1+t)2(1−t)=32(1+t)(t≠1)y'_x = \frac{3(1 - t^2)}{2(1 - t)} = \frac{3(1 - t)(1 + t)}{2(1 - t)} = \frac{3}{2}(1 + t) \qquad (t \ne 1)Вычислим вторую производную yxx′′y''_{xx}:yxx′′=(32(1+t))t′2(1−t)=322(1−t)=34(1−t)y''_{xx} = \frac{\left( \frac{3}{2}(1 + t) \right)'_t}{2(1 - t)} = \frac{\frac{3}{2}}{2(1 - t)} = \frac{3}{4(1 - t)}Вычислим третью производную yxxx′′′y'''_{xxx}:yxxx′′′=(34(1−t)−1)t′2(1−t)=34⋅(−1)(1−t)−2⋅(−1)2(1−t)=38(1−t)3y'''_{xxx} = \frac{\left( \frac{3}{4}(1 - t)^{-1} \right)'_t}{2(1 - t)} = \frac{\frac{3}{4} \cdot (-1)(1 - t)^{-2} \cdot (-1)}{2(1 - t)} = \frac{3}{8(1 - t)^3}

Проверка

Формулы для второй и третьей производных действуют при t≠1t\ne1. В точке t=1t=1, (x,y)=(1,2)(x,y)=(1,2), обе ветви имеют левую первую производную 33 (№1077). Но при t=1+ht=1+hx−1=−h2,yx′−3=32h,x-1=-h^2,\qquad y'_x-3=\frac32h,yx′−3x−1=−32h.\frac{y'_x-3}{x-1}=-\frac{3}{2h}.На каждой из двух ветвей модуль этого отношения стремится к бесконечности. Поэтому конечной второй, а значит и третьей производной в общей конечной точке нет.