Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1156

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=x(2x-1)^2(x+3)^3;

найти

y^{(6)}

y^{(7)}

Решение

Заданная функция является многочленом. Найдём его степень и старший член. Для этого перемножим старшие члены каждого множителя

y = x \cdot (2x)^2 \cdot x^3 + \dots = x \cdot 4x^2 \cdot x^3 + \dots = 4x^6 + \dots

Таким образом,

y

представляет собой многочлен шестой степени. Известно, что

n

-я производная многочлена

n

-й степени

P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0

является константой и равна

a_n \cdot n!

.
Поэтому шестая производная нашей функции равна

y^{(6)} = 4 \cdot 6! = 4 \cdot 720 = 2880

Производная порядка выше степени многочлена равна нулю, следовательно, седьмая производная

y^{(7)} = 0