Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1156

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1156

y=x(2x−1)2(x+3)3;y=x(2x-1)^2(x+3)^3;найти y(6)y^{(6)} и y(7)y^{(7)}.

Решение

Заданная функция является многочленом. Найдём его степень и старший член. Для этого перемножим старшие члены каждого множителяy=x⋅(2x)2⋅x3+⋯=x⋅4x2⋅x3+⋯=4x6+…y = x \cdot (2x)^2 \cdot x^3 + \dots = x \cdot 4x^2 \cdot x^3 + \dots = 4x^6 + \dotsТаким образом, yy представляет собой многочлен шестой степени. Известно, что nn-я производная многочлена nn-й степени Pn(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 является константой и равна an⋅n!a_n \cdot n!.
Поэтому шестая производная нашей функции равнаy(6)=4⋅6!=4⋅(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6)=4⋅720=2880y^{(6)} = 4\cdot6!=4\cdot(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6)=4\cdot720=2880Производная порядка выше степени многочлена равна нулю, следовательно, седьмая производнаяy(7)=0y^{(7)} = 0