Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1157

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

y=\frac{a}{x^m};

найти

y'''

Ответ:На каждом промежутке, где исходная функция трижды дифференцируема,

y'''=-\frac{am(m+1)(m+2)}{x^{m+3}}.

Решение

Работаем на промежутке, где вещественная степень

x^{-m}

определена
и трижды дифференцируема. В частности, при произвольном вещественном

m

достаточно считать

x>0

Перепишем функцию в виде степенной

y = ax^{-m}

Последовательно находим производные до третьего порядка

y' = a(-m)x^{-m-1}

y'' = a(-m)(-m-1)x^{-m-2} = am(m+1)x^{-m-2}

y''' = am(m+1)(-m-2)x^{-m-3} = -am(m+1)(m+2)x^{-m-3}

Возвращаясь к виду дроби, получаем

y''' = -\frac{am(m+1)(m+2)}{x^{m+3}}

Проверка

Формулы применяются при

x>0

при произвольном вещественном

m

; при целых

m

— на всех допустимых промежутках

x\ne0