Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1142

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти производные yx′y'_x, yxx′′y''_{xx} и yxxx′′′y'''_{xxx} функции, заданной параметрически:

Задача 1142

x=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t).x=a(t-\sin t),
\qquad y=a(1-\cos t).

Решение

Вычислим производные по параметру tt, применяя формулы понижения степени:
xt′=a(1−cos⁡t)=2asin⁡2t2yt′=asin⁡t=2asin⁡t2cos⁡t2\begin{aligned}
x'_t &= a(1 - \cos t) = 2a\sin^2\frac{t}{2} \\
y'_t &= a\sin t = 2a\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}
\end{aligned}Найдём первую производную yx′y'_x:yx′=2asin⁡t2cos⁡t22asin⁡2t2=cot⁡t2y'_x = \frac{2a\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2a\sin^2\frac{t}{2}} = \cot\frac{t}{2}Вторая производная yxx′′y''_{xx}:yxx′′=(cot⁡t2)t′a(1−cos⁡t)=−12sin⁡2t22asin⁡2t2=−14asin⁡4t2y''_{xx} = \frac{\left(\cot\frac{t}{2}\right)'_t}{a(1 - \cos t)} = \frac{-\frac{1}{2\sin^2\frac{t}{2}}}{2a\sin^2\frac{t}{2}} = -\frac{1}{4a\sin^4\frac{t}{2}}Третья производная yxxx′′′y'''_{xxx}:yxxx′′′=(−14asin⁡−4t2)t′2asin⁡2t2=−14a⋅(−4)sin⁡−5t2⋅cos⁡t2⋅122asin⁡2t2=12acos⁡t2sin⁡5t22asin⁡2t2=cos⁡t24a2sin⁡7t2y'''_{xxx} = \frac{\left( -\frac{1}{4a}\sin^{-4}\frac{t}{2} \right)'_t}{2a\sin^2\frac{t}{2}} = \frac{-\frac{1}{4a} \cdot (-4)\sin^{-5}\frac{t}{2} \cdot \cos\frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2a\sin^2\frac{t}{2}} = \frac{\frac{1}{2a}\frac{\cos\frac{t}{2}}{\sin^5\frac{t}{2}}}{2a\sin^2\frac{t}{2}} = \frac{\cos\frac{t}{2}}{4a^2\sin^7\frac{t}{2}}

Проверка

Формулы применяются при a≠0a\ne0, t∉2πZt\notin2\pi\mathbb Z.