Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1151

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть функция

f(x)

определена и дважды дифференцируема при

x\le x_0

. Как следует подобрать коэффициенты

a,b

c

, чтобы функция

F(x)=\begin{cases}f(x),&x\le x_0 \\a(x-x_0)^2+b(x-x_0)+c,&x>x_0\end{cases}

была дважды дифференцируема.

Решение

Идея

Чтобы функция

F(x)

была дважды дифференцируемой в точке

x = x_0

, она должна быть в этой точке непрерывной, а также её первая и вторая производные должны быть непрерывными.

Условие непрерывности функции

F(x)

в точке

x_0

:
Предел слева равен значению функции:

\lim_{x \to x_0 - 0} F(x) = f(x_0)

.
Предел справа:

\lim_{x \to x_0 + 0} F(x) = \lim_{x \to x_0 + 0} (a(x-x_0)^2 + b(x-x_0) + c) = c

Следовательно,

c = f(x_0)

Условие непрерывности первой производной

F'(x)

в точке

x_0

:
Вычислим производную на двух интервалах:

F'(x) =\begin{cases}f'(x), & x < x_0 \\2a(x-x_0) + b, & x > x_0\end{cases}

Предел производной слева:

\lim_{x \to x_0 - 0} F'(x) = f'(x_0)

Предел производной справа:

\lim_{x \to x_0 + 0} F'(x) = 2a(0) + b = b

Приравнивая их, получаем:

b = f'(x_0)

Проверка

3. Условие непрерывности второй производной

F''(x)

в точке

x_0

:
Вычислим вторую производную:

F''(x) =\begin{cases}f''(x), & x < x_0 \\2a, & x > x_0\end{cases}

Предел второй производной слева:

\lim_{x \to x_0 - 0} F''(x) = f''(x_0)

Предел второй производной справа:

\lim_{x \to x_0 + 0} F''(x) = 2a

Следовательно:

2a = f''(x_0) \implies a = \frac{1}{2}f''(x_0)

Таким образом, коэффициенты должны быть равны:

a = \frac{1}{2}f''(x_0)

b = f'(x_0)

c = f(x_0)