Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1151

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1151

Пусть функция

f(x)

определена и дважды дифференцируема при

x\le x_0

. Как следует подобрать коэффициенты

a,b

c

, чтобы функция

F(x)=\begin{cases}f(x),&x\le x_0 \\a(x-x_0)^2+b(x-x_0)+c,&x>x_0\end{cases}

была дважды дифференцируема.

Ответ:

a=f''(x_0)/2

b=f'(x_0)

c=f(x_0)

; производные

f

x_0

— левые.

Решение

В точке

x_0

значения

f'(x_0)

f''(x_0)

понимаются слева. Для существования второй производной нужна дифференцируемость первой; непрерывности самой второй производной условие не требует.

Сначала согласуем значения. Левая непрерывность

f

следует из её дифференцируемости. Правый предел многочлена равен

c

, поэтому необходимо и достаточно для непрерывности взять

c=f(x_0).

При таком

c

h>0

разностное отношение равно

\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h=\frac{ah^2+bh}{h}=ah+b\longrightarrow b.

Слева оно стремится к

f'(x_0)

. Следовательно, первая производная существует ровно при

b=f'(x_0)

, и тогда

F'(x_0)=b

.

Теперь проверим производную функции

F'

. При

h>0

F'(x_0+h)=2ah+b, \qquad \frac{F'(x_0+h)-F'(x_0)}h=2a.

При

h<0

соответствующее отношение есть

\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}h\longrightarrow f''(x_0)

по определению второй левой производной. Совпадение пределов требует

2a=f''(x_0)

.

Таким образом,

a=\frac12f''(x_0),\qquad b=f'(x_0),\qquad c=f(x_0).

Проверенные разностные отношения одновременно доказывают достаточность этих условий. В остальных точках обе части функции дважды дифференцируемы по условию и свойствам многочлена.