Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1155

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1155

Уравнения движения точкиx=4sin⁡ωt−3cos⁡ωt,y=3sin⁡ωt+4cos⁡ωtx=4\sin\omega t-3\cos\omega t,
\qquad
y=3\sin\omega t+4\cos\omega t(ω\omega — постоянно).

Определить траекторию движения, скорость и ускорение.

Решение

Определим траекторию, для чего вычислим сумму квадратов координат x2+y2x^2 + y^2:x2+y2=\displaystyle x^2 + y^2\mathrel{=}(4sin⁡ωt−3cos⁡ωt)2+(3sin⁡ωt+4cos⁡ωt)2=\displaystyle (4\sin\omega t - 3\cos\omega t)^2 + (3\sin\omega t + 4\cos\omega t)^2\mathrel{=}16sin⁡2ωt−24sin⁡ωtcos⁡ωt+9cos⁡2ωt+9sin⁡2ωt+24sin⁡ωtcos⁡ωt+16cos⁡2ωt=\displaystyle 16\sin^2\omega t - 24\sin\omega t\cos\omega t + 9\cos^2\omega t + 9\sin^2\omega t + 24\sin\omega t\cos\omega t + 16\cos^2\omega t\mathrel{=}25sin⁡2ωt+25cos⁡2ωt=\displaystyle 25\sin^2\omega t + 25\cos^2\omega t\mathrel{=}25(sin⁡2ωt+cos⁡2ωt)=\displaystyle 25(\sin^2\omega t + \cos^2\omega t)\mathrel{=}25\displaystyle 25Таким образом, траектория движения — это окружность x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 с центром в начале координат и радиусом R=5R = 5.
Вычислим проекции скорости:vx=x′(t)=4ωcos⁡ωt+3ωsin⁡ωt=ω(3sin⁡ωt+4cos⁡ωt)=ωyvy=y′(t)=3ωcos⁡ωt−4ωsin⁡ωt=−ω(4sin⁡ωt−3cos⁡ωt)=−ωx\begin{aligned}
v_x &= x'(t) = 4\omega\cos\omega t + 3\omega\sin\omega t = \omega(3\sin\omega t + 4\cos\omega t) = \omega y \\
v_y &= y'(t) = 3\omega\cos\omega t - 4\omega\sin\omega t = -\omega(4\sin\omega t - 3\cos\omega t) = -\omega x
\end{aligned}Тогда модуль скорости vv равен:v=vx2+vy2=ω2y2+(−ωx)2=ω2(x2+y2)=ω2⋅25=5∣ω∣v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{\omega^2y^2 + (-\omega x)^2} = \sqrt{\omega^2(x^2 + y^2)} = \sqrt{\omega^2 \cdot 25} = 5|\omega|Вычислим проекции ускорения:wx=vx′(t)=ωy′=−ω2xwy=vy′(t)=−ωx′=−ω2y\begin{aligned}
w_x &= v_x'(t) = \omega y' = -\omega^2 x \\
w_y &= v_y'(t) = -\omega x' = -\omega^2 y
\end{aligned}Модуль ускорения ww равен:w=wx2+wy2=(−ω2x)2+(−ω2y)2=ω4(x2+y2)=ω4⋅25=5ω2w = \sqrt{w_x^2 + w_y^2} = \sqrt{(-\omega^2 x)^2 + (-\omega^2 y)^2} = \sqrt{\omega^4(x^2 + y^2)} = \sqrt{\omega^4 \cdot 25} = 5\omega^2

Проверка

При ω≠0\omega\ne0 параметр ωt\omega t пробегает все углы, и точка описывает всю окружность. При ω=0\omega=0 она неподвижна: (x,y)=(−3,4)(x,y)=(-3,4), v=w=0v=w=0. В этом случае траектория как множество пройденных точек состоит из одной точки.