Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1126

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1126

y=f(1x).y=f\left(\frac1x\right).

Решение

Найдём первую производную:y′=f′(1x)⋅(1x)′=−1x2f′(1x)=−x−2f′(1x)y' = f'\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} f'\left(\frac{1}{x}\right) = -x^{-2} f'\left(\frac{1}{x}\right)Найдём вторую производную:y′′=(−x−2)′f′(1x)+(−x−2)(f′(1x))′=y'' = (-x^{-2})' f'\left(\frac{1}{x}\right) + (-x^{-2}) \left( f'\left(\frac{1}{x}\right) \right)' ==2x−3f′(1x)−x−2⋅f′′(1x)⋅(−x−2)=1x4f′′(1x)+2x3f′(1x)= 2x^{-3} f'\left(\frac{1}{x}\right) - x^{-2} \cdot f''\left(\frac{1}{x}\right) \cdot (-x^{-2}) = \frac{1}{x^4} f''\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{2}{x^3} f'\left(\frac{1}{x}\right)Найдём третью производную:y′′′=(x−4f′′(1x)+2x−3f′(1x))′=y''' = \left( x^{-4} f''\left(\frac{1}{x}\right) + 2x^{-3} f'\left(\frac{1}{x}\right) \right)' ==−4x−5f′′(1x)+x−4f′′′(1x)(−x−2)−6x−4f′(1x)+2x−3f′′(1x)(−x−2)== -4x^{-5} f''\left(\frac{1}{x}\right) + x^{-4} f'''\left(\frac{1}{x}\right) (-x^{-2}) - 6x^{-4} f'\left(\frac{1}{x}\right) + 2x^{-3} f''\left(\frac{1}{x}\right) (-x^{-2}) ==−4x−5f′′(1x)−x−6f′′′(1x)−6x−4f′(1x)−2x−5f′′(1x)== -4x^{-5} f''\left(\frac{1}{x}\right) - x^{-6} f'''\left(\frac{1}{x}\right) - 6x^{-4} f'\left(\frac{1}{x}\right) - 2x^{-5} f''\left(\frac{1}{x}\right) ==−x−6f′′′(1x)−6x−5f′′(1x)−6x−4f′(1x)== -x^{-6} f'''\left(\frac{1}{x}\right) - 6x^{-5} f''\left(\frac{1}{x}\right) - 6x^{-4} f'\left(\frac{1}{x}\right) ==−1x6f′′′(1x)−6x5f′′(1x)−6x4f′(1x)= -\frac{1}{x^6} f'''\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{6}{x^5} f''\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{6}{x^4} f'\left(\frac{1}{x}\right)