Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1127

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1127

y=f(ex).y=f(e^x).

Решение

Найдём первую производную:y′=f′(ex)⋅(ex)′=exf′(ex)y' = f'(e^x) \cdot (e^x)' = e^x f'(e^x)Найдём вторую производную:y′′=(ex)′f′(ex)+ex(f′(ex))′=exf′(ex)+ex⋅f′′(ex)⋅ex=e2xf′′(ex)+exf′(ex)y'' = (e^x)' f'(e^x) + e^x (f'(e^x))' = e^x f'(e^x) + e^x \cdot f''(e^x) \cdot e^x = e^{2x} f''(e^x) + e^x f'(e^x)Найдём третью производную:y′′′=(e2xf′′(ex))′+(exf′(ex))′=y''' = (e^{2x} f''(e^x))' + (e^x f'(e^x))' ==2e2xf′′(ex)+e2x⋅f′′′(ex)⋅ex+exf′(ex)+ex⋅f′′(ex)⋅ex== 2e^{2x} f''(e^x) + e^{2x} \cdot f'''(e^x) \cdot e^x + e^x f'(e^x) + e^x \cdot f''(e^x) \cdot e^x ==2e2xf′′(ex)+e3xf′′′(ex)+exf′(ex)+e2xf′′(ex)== 2e^{2x} f''(e^x) + e^{3x} f'''(e^x) + e^x f'(e^x) + e^{2x} f''(e^x) ==e3xf′′′(ex)+3e2xf′′(ex)+exf′(ex)= e^{3x} f'''(e^x) + 3e^{2x} f''(e^x) + e^x f'(e^x)
Демидович № 1127 — решение