Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1131

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Считая

x

независимой переменной, найти

d^2y

, если:

y=\sqrt{1+x^2}.

Ответ:

d^2y=\frac{(dx)^2}{(1+x^2)^{3/2}},\qquad x\in\mathbb R.

Решение

Поскольку

x

— независимая переменная, второй дифференциал находится по формуле

d^2y = y'' dx^2

.
Найдём первую производную:

y' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

Найдём вторую производную по правилу дифференцирования частного:

y'' = \frac{1 \cdot \sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{(\sqrt{1+x^2})^2} = \frac{\frac{1+x^2-x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}

Таким образом, второй дифференциал равен:

d^2y = \frac{dx^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}