Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1150

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y'

y''

, если:

\sqrt{x^2+y^2}=ae^{\arctan\frac yx},\qquad a>0.

Решение

Продифференцируем обе части уравнения по

x

.
Производная левой части:

\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)' = \frac{2x + 2yy'}{2\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x + yy'}{\sqrt{x^2+y^2}}

Производная правой части:

\left(ae^{\arctan\frac yx}\right)' = ae^{\arctan\frac yx} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \left(\frac{y}{x}\right)' = ae^{\arctan\frac yx} \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{y'x - y}{x^2} = ae^{\arctan\frac yx} \frac{xy' - y}{x^2+y^2}

По условию

ae^{\arctan\frac yx} = \sqrt{x^2+y^2}

, поэтому правая часть равна:

\sqrt{x^2+y^2} \cdot \frac{xy' - y}{x^2+y^2} = \frac{xy' - y}{\sqrt{x^2+y^2}}

Приравниваем производные левой и правой частей:

\frac{x + yy'}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{xy' - y}{\sqrt{x^2+y^2}} \implies x + yy' = xy' - y

Выразим

y'

y'(x - y) = x + y \implies y' = \frac{x+y}{x-y}

Найдём вторую производную:

y'' = \left( \frac{x+y}{x-y} \right)' = \frac{(1+y')(x-y) - (x+y)(1-y')}{(x-y)^2}

Раскроем скобки в числителе:

(1+y')(x-y) - (x+y)(1-y') = x - y + xy' - yy' - (x + y - xy' - yy') = -2y + 2xy' = 2(xy' - y)

Подставим

y'

2(xy' - y) = 2\left( x\frac{x+y}{x-y} - y \right) = 2\frac{x^2+xy - xy+y^2}{x-y} = \frac{2(x^2+y^2)}{x-y}

Таким образом, вторая производная:

y'' = \frac{\frac{2(x^2+y^2)}{x-y}}{(x-y)^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^3}

Проверка

Исходное уравнение требует

x\ne0

. Формулы относятся к точкам с

x\ne y

. При

x=y

касательная вертикальна, как показывает параметризация из №1053 с дополнительным масштабом

a>0

; конечной первой производной там нет.