Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1119

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=x[\sin(\ln x)+\cos(\ln x)].

Решение

Найдём первую производную:

y' = 1 \cdot [\sin(\ln x)+\cos(\ln x)] + x \left[ \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x} \right]

y' = \sin(\ln x) + \cos(\ln x) + \cos(\ln x) - \sin(\ln x) = 2\cos(\ln x)

Теперь продифференцируем полученное выражение:

y'' = (2\cos(\ln x))' = -2\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2\sin(\ln x)}{x}