Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1119

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти y′′y'', если:

Задача 1119

y=x[sin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x)].y=x[\sin(\ln x)+\cos(\ln x)].

Решение

Найдём первую производную:y′=1⋅[sin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x)]+x[cos⁡(ln⁡x)⋅1x−sin⁡(ln⁡x)⋅1x]y' = 1 \cdot [\sin(\ln x)+\cos(\ln x)] + x \left[ \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x} \right]y′=sin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x)−sin⁡(ln⁡x)=2cos⁡(ln⁡x)y' = \sin(\ln x) + \cos(\ln x) + \cos(\ln x) - \sin(\ln x) = 2\cos(\ln x)Теперь продифференцируем полученное выражение:y′′=(2cos⁡(ln⁡x))′=−2sin⁡(ln⁡x)⋅1x=−2sin⁡(ln⁡x)xy'' = (2\cos(\ln x))' = -2\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2\sin(\ln x)}{x}

Проверка

Формулы применяются при x>0x>0.