Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1121

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть u=φ(x)u=\varphi(x) и v=ψ(x)v=\psi(x) — дважды дифференцируемые функции. Найти y′′y'', если:

Задача 1121

y=u2.y=u^2.

Решение

Найдём первую производную функции yy по переменной xx, используя правило дифференцирования сложной функции:
y′=(u2)′=2uu′y' = (u^2)' = 2uu'Теперь продифференцируем полученное выражение ещё раз, чтобы найти вторую производную. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения:y′′=(2uu′)′=2(u′⋅u′+u⋅u′′)=2((u′)2+uu′′)y'' = (2uu')' = 2(u' \cdot u' + u \cdot u'') = 2((u')^2 + uu'')