Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1154

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1154

Тяжёлая материальная точка M(x,y)M(x,y) брошена с начальной скоростью v0v_0 в вертикальной плоскости OxyOxy под углом α\alpha к плоскости горизонта. Составить (пренебрегая сопротивлением воздуха) уравнение движения и определить скорость vv и ускорение ww, а также траекторию движения. Чему равны наибольшая высота поднятия точки и дальность полёта?

Решение

Начало координат выберем в точке броска, ось OyOy направим вверх. Пусть v0>0v_0>0, g>0g>0, 0<α⩽π/20<\alpha\leqslant\pi/2; дальность измеряем до возвращения на высоту старта. В однородном поле тяжести без сопротивления воздуха движение по горизонтали равномерное, а по вертикали — с постоянным ускорением −g-g.
x(t)=v0(cos⁡α)ty(t)=v0(sin⁡α)t−gt22\begin{aligned}
x(t) &= v_0 (\cos\alpha) t \\
y(t) &= v_0 (\sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2}
\end{aligned}Проекции скорости на оси найдём, продифференцировав координаты по времени:vx(t)=x′(t)=v0cos⁡αvy(t)=y′(t)=v0sin⁡α−gt\begin{aligned}
v_x(t) &= x'(t) = v_0 \cos\alpha \\
v_y(t) &= y'(t) = v_0 \sin\alpha - gt
\end{aligned}Модуль скорости vv:v=vx2+vy2=v02cos⁡2α+(v0sin⁡α−gt)2=v02−2v0gtsin⁡α+g2t2v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2\cos^2\alpha + (v_0\sin\alpha - gt)^2} = \sqrt{v_0^2 - 2v_0gt\sin\alpha + g^2t^2}Проекции ускорения на оси (вторые производные):wx(t)=vx′(t)=0wy(t)=vy′(t)=−g\begin{aligned}
w_x(t) &= v_x'(t) = 0 \\
w_y(t) &= v_y'(t) = -g
\end{aligned}Модуль ускорения ww:w=wx2+wy2=02+(−g)2=gw = \sqrt{w_x^2 + w_y^2} = \sqrt{0^2 + (-g)^2} = gПри 0<α<π/20<\alpha<\pi/2 для получения уравнения траектории исключим параметр tt из уравнений движения. Из первого уравнения выразим время:t=xv0cos⁡αt = \frac{x}{v_0\cos\alpha}Подставим это во второе уравнение:y=v0sin⁡α(xv0cos⁡α)−g2(xv0cos⁡α)2=xtan⁡α−gx22v02cos⁡2αy = v_0\sin\alpha \left( \frac{x}{v_0\cos\alpha} \right) - \frac{g}{2}\left( \frac{x}{v_0\cos\alpha} \right)^2 = x\tan\alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}Это уравнение параболы ветвями вниз.
Максимум высоты обоснуем выделением квадрата:y(t)=v02sin⁡2α2g−g2(t−v0sin⁡αg)2.y(t)=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}-\frac g2\left(t-\frac{v_0\sin\alpha}{g}\right)^2.Вычитаемое неотрицательно и обращается в нуль при t1=v0sin⁡α/gt_1=v_0\sin\alpha/g. В тот же момент вертикальная скорость равна нулю:v0sin⁡α−gt1=0  ⟹  t1=v0sin⁡αgv_0\sin\alpha - gt_1 = 0 \implies t_1 = \frac{v_0\sin\alpha}{g}Подставим t1t_1 в уравнение для y(t)y(t):H=y(t1)=v0sin⁡α(v0sin⁡αg)−g2(v0sin⁡αg)2=v02sin⁡2α2gH = y(t_1) = v_0\sin\alpha \left(\frac{v_0\sin\alpha}{g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0\sin\alpha}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}Дальность полёта LL определяется из условия y(t)=0y(t) = 0 (при t>0t > 0):xtan⁡α−gx22v02cos⁡2α=0  ⟹  x(tan⁡α−gx2v02cos⁡2α)=0x\tan\alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} = 0 \implies x\left(\tan\alpha - \frac{gx}{2v_0^2\cos^2\alpha}\right) = 0Поскольку x≠0x \ne 0, получаем:sin⁡αcos⁡α=gL2v02cos⁡2α  ⟹  L=2v02sin⁡αcos⁡αg=v02sin⁡(2α)g\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{gL}{2v_0^2\cos^2\alpha} \implies L = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}При вертикальном броске α=π/2\alpha=\pi/2 нельзя делить на cos⁡α\cos\alpha. Непосредственно из уравнений движения получаем x(t)=0x(t)=0, y(t)=v0t−gt2/2y(t)=v_0t-gt^2/2. Высота равна v02/(2g)v_0^2/(2g), время возвращения — 2v0/g2v_0/g, дальность — 00; формулы для HH и LL сохраняются.