Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1113

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти y′′y'', если:

Задача 1113

y=e−x2.y=e^{-x^2}.

Решение

Найдём первую производную сложной функции:y′=e−x2⋅(−x2)′=−2xe−x2y' = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = -2xe^{-x^2}Найдём вторую производную, используя правило дифференцирования произведения:y′′=(−2x)′e−x2+(−2x)(e−x2)′=−2e−x2+(−2x)(−2xe−x2)y'' = (-2x)'e^{-x^2} + (-2x)\left(e^{-x^2}\right)' = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2xe^{-x^2})y′′=−2e−x2+4x2e−x2=2e−x2(2x2−1)y'' = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1)