Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1112

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти y′′y'', если:

Задача 1112

y=x1−x2.y=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.

Решение

Найдём первую производную по правилу дифференцирования частного:
y′=1⋅1−x2−x⋅−2x21−x21−x2=1−x2+x21−x21−x2y' = \frac{1 \cdot \sqrt{1-x^2} - x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}Приведём числитель к общему знаменателю:y′=1−x2+x21−x21−x2=1(1−x2)32=(1−x2)−32y' = \frac{\frac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} = (1-x^2)^{-\frac{3}{2}}Теперь найдём вторую производную:y′′=((1−x2)−32)′=−32(1−x2)−52⋅(−2x)=3x(1−x2)52y'' = \left( (1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \right)' = -\frac{3}{2}(1-x^2)^{-\frac{5}{2}} \cdot (-2x) = \frac{3x}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}}

Проверка

Формулы применяются при ∣x∣<1|x|<1.